Завдання № 4 С-9 [17М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 43)

Тема: Паралельне перенесення. Подібність фігур. Площі подібних фігур

Висота трикутника $ABC$, що виходить із вершини $C$, дорівнює $5\sqrt{2}$ см. На якій відстані від точки $C$ треба провести пряму, паралельну $AB$, щоб ця пряма поділила трикутник на дві рівновеликі частини?

Розв’язок:

Нехай пряма, паралельна $AB$, перетинає сторони $AC$ і $BC$ у точках $M$ і $N$, а висоту $CH$ — у точці $K$. Оскільки $MN \parallel AB$ і $CH \perp AB$, то $CK \perp MN$. Отже, $CK$ — висота трикутника $MCN$ і шукана відстань від точки $C$ до прямої $MN$.

1) $\bigtriangleup MCN \sim \bigtriangleup ACB$ за двома кутами: $\angle C$ — спільний, $\angle CMN=\angle CAB$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AB$ та січній $AC$.

2) Пряма $MN$ ділить трикутник $ABC$ на трикутник $MCN$ і трапецію $AMNB$, площі яких рівні. Тому $S_{MCN}=\frac{1}{2}S_{ABC}$, тобто:

$\frac{S_{MCN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}.$

3) Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Висоти $CK$ і $CH$ подібних трикутників $MCN$ і $ABC$ — відповідні лінійні розміри, тому:

$\left( \frac{CK}{CH} \right)^{2}=\frac{1}{2}$, звідки $\frac{CK}{CH}=\frac{1}{\sqrt{2}}$;

$CK=\frac{CH}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$ (см).

Відповідь:

$5$ см.