: 25 вересня 2026

Числові проміжки: дужки, промені, перетин і об'єднання на координатній прямій — алгебра 9 клас

Ти навчишся записувати розв'язки нерівності числовим проміжком, зображати проміжки на координатній прямій і не плутати квадратну дужку з круглою. А ще — знаходити перетин і об'єднання двох проміжків.

Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке числовий проміжок

У статті до § 4 розв'язки нерівності ми описували словами або нерівністю. Візьмемо подвійну нерівність $-2\lt x\lt 3$. Її задовольняють усі числа, більші за −2 і менші від 3.

На координатній прямій ці числа лежать між точками −2 і 3. Цю частину прямої заштриховуємо:

Координатна пряма. Точки −2 і 3 порожні, між ними штриховка — проміжок від −2 до 3. Числа між ними лежать у заштрихованій частині

Самі числа −2 і 3 цю нерівність не задовольняють: −2 не більше за −2, а 3 не менше від 3. Тому на прямій їх позначають порожніми, або «виколотими», точками.

Множину всіх чисел, що задовольняють нерівність $-2\lt x\lt 3$, називають числовим проміжком, або просто проміжком. Позначають її $(-2;\,3)$ і читають: «проміжок від −2 до 3».

Число 0 задовольняє нерівність: $-2\lt 0\lt 3$. Кажуть: 0 належить проміжку $(-2;\,3)$. На прямій воно лежить між −2 і 3, у заштрихованій частині.
Число 3 не задовольняє нерівність, тож проміжку $(-2;\,3)$ не належить.

Усі види проміжків

Кінці проміжку можуть входити в нього, а можуть і не входити. Це видно з дужки й точки на прямій:

кінець входить — дужка квадратна, точка зафарбована;
кінець не входить — дужка кругла, точка порожня.

Якщо проміжок необмежений праворуч, пишемо $+\infty$ («плюс нескінченність»). Якщо ліворуч — $-\infty$ («мінус нескінченність»). На прямій такий проміжок — промінь: штриховка йде до краю.

Ось усі вісім видів на числах −1 і 3:

Нерівність	Проміжок	Як читають
$-1\lt x\lt 3$	$(-1;\,3)$	від −1 до 3
$-1\leqslant x\leqslant 3$	$[-1;\,3]$	від −1 до 3, включаючи −1 і 3
$-1\leqslant x\lt 3$	$[-1;\,3)$	від −1 до 3, включаючи −1
$-1\lt x\leqslant 3$	$(-1;\,3]$	від −1 до 3, включаючи 3
$x\gt -1$	$(-1;\,+\infty)$	від −1 до плюс нескінченності
$x\geqslant -1$	$[-1;\,+\infty)$	від −1 до плюс нескінченності, включаючи −1
$x\lt 3$	$(-\infty;\,3)$	від мінус нескінченності до 3
$x\leqslant 3$	$(-\infty;\,3]$	від мінус нескінченності до 3, включаючи 3

Ті самі вісім проміжків на координатній прямій:

Вісім координатних прямих з проміжками. (−1; 3) — обидві точки порожні. [−1; 3] — обидві зафарбовані. [−1; 3) — −1 зафарбована, 3 порожня. (−1; 3] — −1 порожня, 3 зафарбована. (−1; +∞) — порожня точка −1 і штриховка праворуч. [−1; +∞) — зафарбована −1 і штриховка праворуч. (−∞; 3) — штриховка ліворуч до порожньої точки 3. (−∞; 3] — штриховка ліворуч до зафарбованої точки 3

Як не переплутати дужки

Знаки $\leqslant$ і $\geqslant$ називають нестрогими, а $\lt$ і $\gt$ — строгими. У нестрогих знаків є рисочка знизу: вона означає «або дорівнює». Є рисочка — число входить у проміжок: дужка квадратна, точка зафарбована.
Строгі знаки $\lt$ і $\gt$ без рисочки: число не входить, дужка кругла, точка порожня.
Біля $+\infty$ і $-\infty$ дужка завжди кругла. Нескінченність — не число, тож «включити» її неможливо.

Уся пряма і порожня множина

Множину всіх чисел зображають усією координатною прямою і позначають $(-\infty;\,+\infty)$.
Множину, у якій немає жодного числа, називають порожньою множиною і позначають $\varnothing$.

Як записати проміжок

Знайди лівий кінець і правий кінець. Якщо з якогось боку обмеження немає, там пиши $-\infty$ (завжди ліворуч) чи $+\infty$ (завжди праворуч).
Менше число пиши ліворуч, більше — праворуч, через крапку з комою.
Для кожного кінця вибери дужку: входить — квадратна, не входить або $\infty$ — кругла.
Перевір одним числом усередині і самими кінцями.

Розв'язані приклади

Приклад 1. Зобрази проміжок на координатній прямій

Зобразимо проміжки: 1) $(-3;\,2]$; 2) $[4;\,+\infty)$; 3) $(-\infty;\,-1)$.

Три координатні прямі. Перша: порожня точка −3, зафарбована точка 2, штриховка між ними. Друга: зафарбована точка 4, штриховка праворуч. Третя: порожня точка −1, штриховка ліворуч

1)У пункті 1 біля −3 кругла дужка: точка −3 порожня. Біля 2 квадратна: точка 2 зафарбована. Штрихуємо частину прямої між ними.
2)У пункті 2 кінець лише один — число 4, і дужка біля нього квадратна. Точка 4 зафарбована, штриховка йде праворуч до стрілки: проміжок не має правого кінця.
3)У пункті 3 ліворуч стоїть $-\infty$. Штриховка йде ліворуч від точки −1, а сама точка порожня, бо дужка кругла.

Приклад 2. Запиши проміжок, зображений на малюнку

Запишемо три проміжки, зображені на малюнку:

Три координатні прямі. Перша: зафарбовані точки −5 і −2, штриховка між ними. Друга: штриховка ліворуч до зафарбованої точки 0. Третя: порожня точка 6, штриховка праворуч

1)	$[-5;\,-2]$;
2)	$(-\infty;\,0]$;
3)	$(6;\,+\infty)$.

1)У пункті 1 обидві точки зафарбовані: обидві дужки квадратні. Ліворуч пишемо менше число, −5.
2)У пункті 2 штриховка йде ліворуч без кінця — пишемо $-\infty$ з круглою дужкою. Точка 0 зафарбована — дужка квадратна.
3)У пункті 3 точка 6 порожня, а штриховка йде праворуч. Обидві дужки круглі.

Відповідь: 1) $[-5;\,-2]$; 2) $(-\infty;\,0]$; 3) $(6;\,+\infty)$.

Приклад 3. Зобрази й запиши проміжок, заданий нерівністю

Зобразимо на координатній прямій і запишемо проміжок, який задано нерівністю: 1) $x\geqslant -2{,}5$; 2) $0{,}6\lt x\leqslant 1\frac{3}{4}$.

Дві координатні прямі. Перша: зафарбована точка −2,5 і штриховка праворуч. Друга: порожня точка 0,6, зафарбована точка 1¾, штриховка між ними

1)	$x\geqslant -2{,}5$; $[-2{,}5;\,+\infty)$;
2)	$0{,}6\lt x\leqslant 1\frac{3}{4}$; $\left(0{,}6;\,1\frac{3}{4}\right]$.

1)У пункті 1 знак нестрогий: −2,5 входить. Точка зафарбована, дужка квадратна. Числа, більші за −2,5, лежать праворуч, тому праворуч пишемо $+\infty$.
2)У пункті 2 ліворуч знак строгий: 0,6 не входить, дужка кругла. Праворуч нестрогий: $1\frac{3}{4}$ входить, дужка квадратна.
3)Мішане число $1\frac{3}{4}$ переносимо в запис проміжку без змін, як у нерівності.

Відповідь: 1) $[-2{,}5;\,+\infty)$; 2) $\left(0{,}6;\,1\frac{3}{4}\right]$.

Приклад 4. Перевір, чи належить число проміжку

Чи належить проміжку $[-2{,}05;\,-1{,}9)$ число: 1) −2; 2) −2,1; 3) −1,9; 4) −1,95; 5) −2,05; 6) −1,89?

	$-2{,}05\leqslant x\lt -1{,}9$;
1)	$-2{,}05\lt -2\lt -1{,}9$ — так;
2)	$-2{,}1\lt -2{,}05$ — ні;
3)	$-1{,}9\lt -1{,}9$ — неправильна; ні;
4)	$-2{,}05\lt -1{,}95\lt -1{,}9$ — так;
5)	$-2{,}05\leqslant -2{,}05$ — так;
6)	$-1{,}89\gt -1{,}9$ — ні.

1)Записуємо проміжок подвійною нерівністю. Квадратна дужка дає знак $\leqslant$, кругла — знак $\lt$.
2)З двох від'ємних чисел більше те, що ближче до нуля. Число −1,89 ближче до нуля, ніж −1,9. Тому $-1{,}89\gt -1{,}9$, і ця точка лежить праворуч від кінця.
3)Кінці перевіряємо за дужками. −2,05 стоїть біля квадратної дужки — входить. −1,9 біля круглої — не входить.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні.

Приклад 5. Запиши цілі, натуральні, додатні й від'ємні числа проміжку

Запишемо: 1) усі цілі числа проміжку $(-3{,}2;\,2]$; 2) усі натуральні числа проміжку $[0{,}5;\,\sqrt{10})$; 3) два додатних і два від'ємних числа проміжку $(-1{,}5;\,0{,}3]$.

1)	−3; −2; −1; 0; 1; 2;
2)	$3^2=9\lt 10$; $4^2=16\gt 10$;
	$3\lt \sqrt{10}\lt 4$; числа 1; 2; 3;
3)	додатні: 0,1; 0,3;
	від'ємні: −1; −0,5.

1)У пункті 1 найменше ціле число, більше за −3,2, — це −3. Число 2 входить, бо дужка біля нього квадратна.
2)У пункті 2 треба знати, між якими цілими числами лежить $\sqrt{10}$. Шукаємо сусідні квадрати: $9\lt 10\lt 16$, тому $\sqrt{10}$ між 3 і 4. Натуральні числа від 0,5 до $\sqrt{10}$ — це 1, 2 і 3.
3)У пункті 3 додатні числа лежать між 0 і 0,3, причому 0,3 входить. Від'ємні — між −1,5 і 0, а саме −1,5 не входить. Чисел у проміжку безліч, тож відповідь може бути й іншою.

Відповідь: 1) −3; −2; −1; 0; 1; 2; 2) 1; 2; 3; 3) наприклад, 0,1 і 0,3; −1 і −0,5.

Приклад 6. Знайди найменше або найбільше ціле число проміжку

Знайдемо найменше ціле число проміжку: 1) $(-4;\,7)$; 2) $[2{,}3;\,+\infty)$. Знайдемо найбільше ціле число проміжку: 3) $(-\infty;\,6)$; 4) $(-2;\,-0{,}4]$.

1)	−4 не входить; найменше: −3;
2)	$2\lt 2{,}3\lt 3$; найменше: 3;
3)	6 не входить; найбільше: 5;
4)	$-1\lt -0{,}4\lt 0$; найбільше: −1.

1)Найменше число шукаємо біля лівого кінця, найбільше — біля правого.
2)Якщо кінець — ціле число, дивимося на дужку. У пункті 1 дужка біля −4 кругла, тож беремо наступне ціле праворуч: −3. У пункті 3 так само замість 6 беремо 5. Якби дужка була квадратна, відповіддю був би сам кінець: у $[-4;\,7)$ найменше ціле — −4.
3)Якщо кінець дробовий, беремо найближче ціле всередині проміжку. У пункті 2 праворуч від 2,3 лежить 3. У пункті 4 ліворуч від −0,4 лежить −1. Число 0 не підходить: воно більше за −0,4.
4)У проміжку $(-\infty;\,6)$ найменшого числа немає: ліворуч числа тягнуться без кінця. Так само немає найбільшого в $[2{,}3;\,+\infty)$.

Відповідь: 1) −3; 2) 3; 3) 5; 4) −1.

Приклад 7. Порівняй корені з кінцями проміжку

1) Чи належить проміжку $(2{,}2;\,3{,}6]$ число: а) $\sqrt{5}$; б) $\sqrt{13}$; в) $\sqrt{12}$; г) $\sqrt{4{,}5}$? 2) Знайдемо найменше і найбільше натуральні числа проміжку $[\sqrt{7};\,\sqrt{50})$.

1)	$2{,}2^2=4{,}84$; $3{,}6^2=12{,}96$;
	$\sqrt{a}$: $4{,}84\lt a\leqslant 12{,}96$;
	а) 5 — так; б) 13 — ні;
	в) 12 — так; г) 4,5 — ні;
2)	$7\leqslant n^2\lt 50$;
	$2^2=4\lt 7$; $3^2=9$; $7^2=49\lt 50$; $8^2=64$;
	найменше: 3; найбільше: 7.

1)Корінь незручно порівнювати з десятковим дробом. Тому підносимо до квадрата кінці проміжку: $2{,}2=\sqrt{4{,}84}$, $3{,}6=\sqrt{12{,}96}$.
2)З двох коренів більший той, у якого більше число під коренем. Отже, число $\sqrt{a}$ належить проміжку, якщо $4{,}84\lt a\leqslant 12{,}96$. Знаки ті самі, що й у дужок.
3)Перевіряємо числа під коренями: 5 і 12 підходять, 13 більше за 12,96, а 4,5 менше від 4,84.
4)У пункті 2 позначимо натуральне число буквою $n$. Воно належить проміжку, якщо $7\leqslant n^2\lt 50$. Підносимо до квадрата 2, 3, … : підходять 3, 4, 5, 6, 7.

Відповідь: 1) а) так; б) ні; в) так; г) ні; 2) 3 і 7.

Перетин і об'єднання проміжків

Перетин числових проміжків — множина всіх чисел, що належать кожному з цих проміжків. Позначають знаком $\cap$.

Об'єднання числових проміжків — множина всіх чисел, що належать хоча б одному з цих проміжків. Позначають знаком $\cup$.

Щоб не заплутатися, перший проміжок штрихуємо над прямою, а другий — під нею. Перетин — там, де є обидві штриховки. Об'єднання — там, де є хоча б одна.

Приклад 8. Знайди перетин проміжків

Знайдемо перетин: 1) $[-3;\,4)$ і $(1;\,6]$; 2) $(-\infty;\,2]$ і $[2;\,5)$; 3) $(-1;\,3)$ і $[3;\,+\infty)$; 4) $(-\infty;\,1)$ і $(-\infty;\,4]$.

Чотири координатні прямі: перший проміжок заштриховано над прямою синім, другий — під прямою помаранчевим, перетин — зелена смуга над ними. 1) [−3; 4) і (1; 6]: перетин від 1 до 4, обидва кінці порожні. 2) (−∞; 2] і [2; 5): спільна лише зелена точка 2. 3) (−1; 3) і [3; +∞): спільних точок немає. 4) (−∞; 1) і (−∞; 4]: перетин — від мінус нескінченності до порожньої точки 1

1)	$[-3;\,4)\cap(1;\,6]=(1;\,4)$;
2)	$(-\infty;\,2]\cap[2;\,5)=\{2\}$;
3)	$(-1;\,3)\cap[3;\,+\infty)=\varnothing$;
4)	$(-\infty;\,1)\cap(-\infty;\,4]=(-\infty;\,1)$.

1)Зображаємо обидва проміжки на одній прямій: синя штриховка — перший, помаранчева — другий. Відповідь — зелена смуга над ними.
2)У пункті 1 обидві штриховки є від 1 до 4. Число 1 не входить у другий проміжок, число 4 — у перший. Тому обидві дужки круглі.
3)У пункті 2 спільне лише число 2: воно входить в обидва проміжки. Перетин — одна точка. Пишемо {2}: фігурні дужки означають множину, у якій лише одне число 2.
4)У пункті 3 число 3 входить лише в другий проміжок, а інших спільних чисел немає. Перетин — порожня множина.
5)У пункті 4 перший проміжок лежить усередині другого. Перетин — сам перший проміжок.

Відповідь: 1) $(1;\,4)$; 2) {2}; 3) $\varnothing$; 4) $(-\infty;\,1)$.

Приклад 9. Знайди об'єднання проміжків

Знайдемо об'єднання: 1) $[-2;\,1)$ і $(0;\,5]$; 2) $(-\infty;\,3)$ і $[3;\,6)$; 3) $(-4;\,-1]$ і $[2;\,+\infty)$; 4) $(-\infty;\,2)$ і $(-1;\,+\infty)$.

Чотири координатні прямі: перший проміжок заштриховано над прямою синім, другий — під прямою помаранчевим, об'єднання — зелена смуга над ними. 1) [−2; 1) і (0; 5]: від зафарбованої −2 до зафарбованої 5. 2) (−∞; 3) і [3; 6): від мінус нескінченності до порожньої точки 6. 3) (−4; −1] і [2; +∞): дві окремі зелені частини. 4) (−∞; 2) і (−1; +∞): уся пряма

1)	$[-2;\,1)\cup(0;\,5]=[-2;\,5]$;
2)	$(-\infty;\,3)\cup[3;\,6)=(-\infty;\,6)$;
3)	$(-4;\,-1]\cup[2;\,+\infty)$
	— не проміжок;
4)	$(-\infty;\,2)\cup(-1;\,+\infty)=$
	$=(-\infty;\,+\infty)$.

1)У пункті 1 штриховки перекриваються, тому разом вони дають суцільну смугу від −2 до 5. Кінці −2 і 5 входять, дужки квадратні.
2)Порожня точка 1 — кінець лише першого проміжку. Число 1 входить у другий проміжок, а для об'єднання цього досить. Тому зелена смуга над точкою 1 суцільна.
3)У пункті 2 проміжки стикаються в точці 3. Вона входить у другий проміжок, тож смуга суцільна до 6.
4)У пункті 3 між −1 і 2 немає жодної штриховки. Смуга розірвана, і одним проміжком її не записати. Відповідь пишемо через знак $\cup$.
5)У пункті 4 штриховки разом покривають усю пряму.

Відповідь: 1) $[-2;\,5]$; 2) $(-\infty;\,6)$; 3) $(-4;\,-1]\cup[2;\,+\infty)$; 4) $(-\infty;\,+\infty)$.

Спільний кінець із різними дужками

Буває, що кінець один і той самий, а дужки біля нього різні. Тоді дивимося, чи входить це число у відповідь:

у перетин кінець входить, лише якщо входить в обидва проміжки. Хоч одна дужка кругла — у відповіді кругла;
в об'єднання кінець входить, якщо входить хоча б в один проміжок. Хоч одна дужка квадратна — у відповіді квадратна.

1)	$[-1;\,4)\cap(-1;\,6]=(-1;\,4)$;
2)	$(0;\,3]\cup[-2;\,3)=[-2;\,3]$.

У пункті 1 число −1 не входить у другий проміжок, тому й у перетин не входить. У пункті 2 число 3 входить у перший проміжок, тож входить і в об'єднання.

Як перевірити себе

Дужки. Підстав кінець у нерівність. У прикладі 3 для $x\geqslant -2{,}5$ маємо $-2{,}5\geqslant -2{,}5$ — правильна, тому дужка квадратна.
Число всередині. Візьми будь-яке число з відповіді й перевір, що воно задовольняє умову. Наприклад, перетин $[-3;\,4)$ і $(1;\,6]$ — це $(1;\,4)$. Візьми з нього 2: воно є і в $[-3;\,4)$, і в $(1;\,6]$.
Найменше чи найбільше ціле. Перевір сусіда. У прикладі 6 число −3 належить $(-4;\,7)$, а на одиницю менше, −4, уже ні.
Об'єднання. Кожне число з обох проміжків має потрапити у відповідь. Кінці, що стикаються, перевір окремо. Наприклад, в об'єднанні $(-\infty;\,3)$ і $[3;\,6)$ числа 3 немає в першому проміжку, але воно є в другому. Тому відповідь — $(-\infty;\,6)$, без розриву в точці 3.

Де найчастіше помиляються

Що сталося: число 3 не входить ні в перший проміжок, ні в другий. У $[1;\,5]$ воно є, тож цей запис неправильний.

Як помітити: коли проміжки стикаються, перевір спільний кінець: чи входить він хоча б в один із них.

Спробуй сам

Зобрази на координатній прямій проміжок: 1) $(-1;\,4]$; 2) $(-\infty;\,2]$.
Запиши проміжки, зображені на малюнку:
Зобрази на координатній прямій і запиши проміжок, заданий нерівністю: 1) $x\lt -3$; 2) $-1{,}5\leqslant x\lt 2$.
Чи належить проміжку $(-0{,}8;\,1{,}2]$ число: 1) −0,8; 2) 1,2; 3) −0,75; 4) 1,25?
Запиши всі цілі числа проміжку $[-2{,}5;\,3)$.
Знайди: 1) найменше ціле число проміжку $(-6;\,1)$; 2) найбільше ціле число проміжку $(-\infty;\,-3{,}5)$.
Чи належить проміжку $[1{,}5;\,2{,}8)$ число: 1) $\sqrt{3}$; 2) $\sqrt{8}$?
Знайди перетин проміжків: 1) $[-2;\,5)$ і $(3;\,7]$; 2) $(-\infty;\,0)$ і $[0;\,4]$.
Знайди об'єднання проміжків: 1) $(-3;\,1]$ і $[1;\,4)$; 2) $[0;\,2)$ і $(-1;\,1]$.

Перевірити відповіді

1) Точка −1 порожня, точка 4 зафарбована, штриховка між ними; 2) точка 2 зафарбована, штриховка ліворуч.
1) $(-4;\,0]$; 2) $(-\infty;\,2{,}5)$.
1) $(-\infty;\,-3)$, точка −3 порожня, штриховка ліворуч; 2) $[-1{,}5;\,2)$, точка −1,5 зафарбована, точка 2 порожня.
1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні.
−2; −1; 0; 1; 2.
1) −5; 2) −4.
1) Так; 2) ні.
1) $(3;\,5)$; 2) $\varnothing$.
1) $(-3;\,4)$; 2) $(-1;\,2)$.

Повне розв'язання завдання 7

	$1{,}5^2=2{,}25$; $2{,}8^2=7{,}84$;
	$\sqrt{a}$: $2{,}25\leqslant a\lt 7{,}84$;
1)	$2{,}25\lt 3\lt 7{,}84$ — так;
2)	$8\gt 7{,}84$ — ні.

Кінці проміжку підносимо до квадрата і порівнюємо з ними числа під коренем. Знаки беремо за дужками: квадратна — $\leqslant$, кругла — $\lt$.

Повне розв'язання завдання 9 (2)

	$[0;\,2)\cup(-1;\,1]$;
	лівий кінець: −1, не входить;
	правий кінець: 2, не входить;
	$=(-1;\,2)$.

Проміжки перекриваються від 0 до 1, тож смуга суцільна. Число 0 належить і першому проміжку, і відповіді. А лівим кінцем відповіді стало −1: другий проміжок починається лівіше.

Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найімовірніше, дужку поставили не за знаком нерівності або загубили кінець, що входить лише в один проміжок.

Для батьків

Попросіть дитину записати проміжком нерівності $x\gt 2$ і $x\geqslant 2$ та пояснити, чим відрізняються записи. Правильна відповідь: $(2;\,+\infty)$ і $[2;\,+\infty)$ — у другому число 2 входить.

Запитайте, чому біля знака $\infty$ дужка завжди кругла. Правильна відповідь: нескінченність — не число, її не можна включити в проміжок.