Ти навчишся додавати й віднімати вектори за координатами та будувати їхню суму за правилами трикутника й паралелограма. Ти також навчишся будувати різницю векторів і спрощувати суми ланцюжком.
Найчастіше під час віднімання гублять мінус перед від’ємною координатою або плутають напрямок різниці. У розділі «Де найчастіше помиляються» показано, як помітити й виправити ці помилки.
Додавання векторів за координатами
Вектори можна додавати й віднімати, а результатом кожної дії буде вектор. Якщо вектори задані координатами, виконуй дію окремо з першими й другими координатами.
Сумою векторів $\vec a(x_1;\,y_1)$ і $\vec b(x_2;\,y_2)$ називають вектор $\vec c(x_1+x_2;\,y_1+y_2)$.
Перша координата показує зміщення праворуч або ліворуч, а друга — вгору або вниз. Коли проходиш два вектори поспіль, відповідні зміщення додаються.
Приклад 1. Знайди суму векторів $\vec a(3;\,-7)$ і $\vec b(-5;\,4)$.
Розв'язання.
| $\vec c=\vec a+\vec b$; | |
| $\vec c(3+(-5);\,-7+4)$, тобто $\vec c(-2;\,-3)$. |
Позначимо суму через $\vec c$. Перші координати дають $3+(-5)=-2$, а другі — $-7+4=-3$; від’ємний доданок записуємо в дужках, щоб зберегти його знак.
Відповідь: $\vec c(-2;\,-3)$.
Для суми векторів справджуються дві рівності, подібні до властивостей додавання чисел.
| $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$; | |
| $\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c$. |
Перша рівність виражає переставну властивість додавання, а друга — сполучну властивість додавання.
Координати лівої й правої частин кожної рівності однакові, бо числа можна додавати в будь-якому порядку й групувати як завгодно. Вектори з однаковими координатами рівні, тому доданки суми можна переставляти й групувати; це допоможе в задачах на ланцюжки.
Віднімання векторів за координатами
Різницею векторів $\vec a(x_1;\,y_1)$ і $\vec b(x_2;\,y_2)$ називають такий вектор $\vec d$, що $\vec d+\vec b=\vec a$.
Тому різницею векторів $\vec a(x_1;\,y_1)$ і $\vec b(x_2;\,y_2)$ буде вектор $\vec d(x_1-x_2;\,y_1-y_2)$.
Різниця — це вектор, який треба додати до $\vec b$, щоб отримати $\vec a$. Якщо $\vec d$ має координати $(x_3;\,y_3)$, то $x_3+x_2=x_1$ і $y_3+y_2=y_1$, звідки $x_3=x_1-x_2$ і $y_3=y_1-y_2$. Так само $7-3=4$, бо $4+3=7$.
Приклад 2. Знайди різницю векторів $\vec c(-2;\,6)$ і $\vec d(4;\,-3)$, тобто $\vec c-\vec d$.
Розв'язання.
| $\vec c-\vec d\,(-2-4;\,6-(-3))$, | |
| тобто $\vec c-\vec d\,(-6;\,9)$. |
- 1)Зменшуване — вектор, від якого віднімають, а від’ємник — вектор, який віднімають. Від першої координати зменшуваного $\vec c$ віднімемо першу координату від’ємника $\vec d$:
$-2-4=-6$. - 2)Друга координата від’ємника від’ємна, тому запишемо її в дужках:
$6-(-3)=6+3=9$. Мінус перед дужками змінює знак числа в дужках.
Додамо до різниці від’ємник: за означенням має вийти зменшуване. Перевірка дає координати вектора $\vec c$:
$(-6+4;\,9+(-3))=(-2;\,6)$.
Відповідь: $\vec c-\vec d\,(-6;\,9)$.
Нехай $\vec a(4;\,-1)$, $\vec b(x;\,y)$, $\vec c(1;\,3)$ і $\vec a-\vec b=\vec c$. Прирівняємо відповідні координати, бо рівні вектори мають однакові координати:
$4-x=1$, отже, $x=3$; $-1-y=3$, отже, $y=-4$.
Правило трикутника
Для будь-яких точок $A$, $B$ і $C$ справджується рівність $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Координати вектора дорівнюють різницям координат його кінця й початку. Нехай $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ і $C(x_3;y_3)$; знайдемо й додамо координати векторів. Доданки $x_2$ і $-x_2$, а також $y_2$ і $-y_2$ взаємно знищуються, бо їхня сума дорівнює нулю, тому лишаються координати $\overrightarrow{AC}$.
| $\overrightarrow{AB}(x_2-x_1;\,y_2-y_1)$, | |
| $\overrightarrow{BC}(x_3-x_2;\,y_3-y_2)$; | |
| $x_2-x_1+x_3-x_2=x_3-x_1$, | |
| $y_2-y_1+y_3-y_2=y_3-y_1$; | |
| $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\,(x_3-x_1;\,y_3-y_1)$, | |
| а це координати $\overrightarrow{AC}$. |
Звідси випливає правило побудови суми будь-яких двох векторів $\vec a$ і $\vec b$, яке називають правилом трикутника.
- Від кінця вектора $\vec a$ відклади вектор, що дорівнює $\vec b$.
- Проведи вектор від початку $\vec a$ до кінця відкладеного $\vec b$. Цей вектор дорівнює сумі $\vec a+\vec b$.
Синій вектор $\overrightarrow{AB}$ закінчується в точці $B$, звідки починається оранжевий $\overrightarrow{BC}$. Зелений $\overrightarrow{AC}$ сполучає початок першого вектора з кінцем другого, тому є їхньою сумою.
Приклад 3. Побудуй суму векторів $\vec a$ і $\vec b$ на клітинках за правилом трикутника.
На кресленні вектори $\vec a$ і $\vec b$ розташовані в різних місцях. Вектор $\vec a$ веде на 2 клітинки праворуч і на 3 вгору, а вектор $\vec b$ — на 4 клітинки праворуч і на 1 вниз. Побудуй їхню суму й запиши її координати.
Розв'язання.
- 1)Позначимо початок $\vec a$ точкою $A(1;1)$, а його кінець — точкою $B(3;4)$.
- 2)Від точки $B$ відкладемо вектор, рівний $\vec b$: відлічимо 4 клітинки праворуч і 1 клітинку вниз та отримаємо точку $C(7;3)$. Рівні вектори мають однакову довжину й напрямок, тому відлічуємо ті самі клітинки.
- 3)Проведемо $\overrightarrow{AC}$ від початку $\vec a$ до кінця відкладеного $\vec b$. За правилом трикутника $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$.
- 4)Перевіримо побудову за координатами:
$\vec a(2;3)$, $\vec b(4;-1)$, тому $\vec a+\vec b\,(2+4;3+(-1))=(6;2)$. Від $A$ до $C$ на кресленні також 6 клітинок праворуч і 2 вгору.
Відповідь: $\vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}$, координати суми $(6;\,2)$.
Правило паралелограма
Суму двох векторів можна побудувати за правилом паралелограма, якщо вони неколінеарні (не лежать ні на одній прямій, ні на паралельних прямих) і відкладені від спільного початку.
- Відклади вектори $\vec a$ і $\vec b$ від спільного початку, наприклад точки $A$.
- На цих векторах побудуй паралелограм.
- Проведи діагональ паралелограма зі спільного початку $A$. Цей вектор дорівнює сумі $\vec a+\vec b$.
Від точки $A$ відкладено $\vec a=\overrightarrow{AB}$ і $\vec b=\overrightarrow{AD}$, а сірий пунктир показує паралелограм $ABCD$. Зелена діагональ $\overrightarrow{AC}$ є сумою векторів.
За правилом трикутника $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. У паралелограмі $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, тому $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Правило трикутника можна застосувати до будь-яких двох векторів. Правило паралелограма застосовують лише до неколінеарних векторів, бо колінеарні вектори не утворюють паралелограма.
Побудова різниці двох векторів
З рівності $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ випливає $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$. Вектори $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AB}$ мають спільний початок $A$. Їхня різниця $\overrightarrow{BC}$ спрямована від кінця від’ємника до кінця зменшуваного.
- Відклади вектори $\vec a$ і $\vec b$ від спільного початку.
- Проведи вектор від кінця $\vec b$ (від’ємника) до кінця $\vec a$ (зменшуваного). Він дорівнює різниці $\vec a-\vec b$.
Приклад 4. Побудуй вектор $\vec a-\vec b$, якщо $\vec a(2;3)$ і $\vec b(4;-1)$.
Розв'язання.
- 1)Спільним початком може бути будь-яка точка; візьмемо точку $A(1;\,2)$, щоб креслення вмістилося на клітинках. Кінець вектора $\vec a$ — точка $B(3;\,5)$, а кінець вектора $\vec b$ — точка $D(5;\,1)$.
- 2)Проведемо $\overrightarrow{DB}$ від кінця від’ємника $\vec b$ до кінця зменшуваного $\vec a$. Це і є різниця $\vec a-\vec b$.
- 3)Перевіримо креслення за координатами:
$\vec a-\vec b\,(2-4;3-(-1))=(-2;4)$. На кресленні від $D$ до $B$ також 2 клітинки ліворуч і 4 вгору.
Якщо до $\overrightarrow{DB}$ додати $\vec b=\overrightarrow{AD}$, то за правилом трикутника $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}=\vec a$. Отже, виконується означення різниці. Вектор $\overrightarrow{BD}$, проведений навпаки, від $B$ до $D$, дорівнює $\vec b-\vec a$.
Відповідь: $\vec a-\vec b=\overrightarrow{DB}$, координати різниці $(-2;\,4)$.
Ланцюжок векторів і замкнена ламана
Правило трикутника можна застосовувати кілька разів поспіль. Якщо кожен наступний вектор починається там, де закінчився попередній, сума веде від початку першого до кінця останнього. Наприклад:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Спершу $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, потім $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
| $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ |
Проміжні букви, де один вектор закінчується, а наступний починається, ніби скорочуються. Залишаються перша буква першого вектора й остання буква останнього.
Вектори $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{CD}$ утворюють ламану один за одним. Зелений $\overrightarrow{AD}$ веде від її початку до кінця.
Якщо останній вектор закінчується там, де починається перший, ламана замикається. Загальне зміщення дорівнює нулю, тому $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0$.
Вектори йдуть по сторонах чотирикутника $ABCD$, а останній $\overrightarrow{DA}$ повертається до точки $A$. Тому їхня сума — нульовий вектор.
Приклад 5. Спрости вираз $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{NK}$.
Розв'язання.
| $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{NK}=$ | |
| $=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NK}+\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{MP}$. |
- 1)$\overrightarrow{MN}$ закінчується в точці $N$, де починається $\overrightarrow{NK}$. Переставимо доданки, щоб поставити ці вектори поруч.
- 2)Тепер вектори утворюють ланцюжок $M\to N\to K\to P$. Тому сума дорівнює $\overrightarrow{MP}$.
Відповідь: $\overrightarrow{MP}$.
Щоб довести рівність для будь-яких точок, склади кожну її частину в ланцюжок. Якщо обидві частини дають той самий вектор або рівні вектори, рівність доведено.
Суми векторів у паралелограмі
У паралелограмі протилежні сторони паралельні й рівні, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Тому деякі вектори рівні, і їх можна замінити, щоб утворити ланцюжок.
Приклад 6. $ABCD$ — паралелограм, а $O$ — точка перетину діагоналей. Знайди суму $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}$.
Розв'язання.
| $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$; | |
| $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=$ | |
| $=\overrightarrow{BC}$. |
- 1)Вектори $\overrightarrow{AO}$ і $\overrightarrow{BO}$ обидва закінчуються в точці $O$, тому ланцюжка вони не утворюють.
- 2)Діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл, отже, $AO=OC$. Вектори $\overrightarrow{AO}$ і $\overrightarrow{OC}$ співнапрямлені, тому вони рівні; замінимо $\overrightarrow{AO}$ на $\overrightarrow{OC}$.
- 3)Переставимо доданки й отримаємо ланцюжок $B\to O\to C$. Отже, сума дорівнює $\overrightarrow{BC}$.
Відповідь: $\overrightarrow{BC}$.
Приклад 7. $ABCD$ — паралелограм, $O$ — точка перетину діагоналей, $\overrightarrow{OA}=\vec m$, $\overrightarrow{OB}=\vec n$. Вирази $\overrightarrow{AB}$ через $\vec m$ і $\vec n$.
Розв'язання.
| $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, звідки | |
| $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec n-\vec m$. |
- 1)За правилом трикутника $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$. Отже, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, бо цю різницю треба додати до $\overrightarrow{OA}$, щоб отримати $\overrightarrow{OB}$.
- 2)Вектори $\vec m$ і $\vec n$ мають спільний початок $O$. За правилом побудови різниці $\vec n-\vec m$ іде від кінця $\vec m$ (точки $A$) до кінця $\vec n$ (точки $B$).
Протилежні сторони паралелограма рівні й співнапрямлені, тому $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec n-\vec m$. Так само можна виразити інші вектори паралелограма через $\vec m$ і $\vec n$.
Відповідь: $\overrightarrow{AB}=\vec n-\vec m$.
Задачі з координатами векторів
Приклад 8. Дано точки $M(5;-1)$ і $N(-3;3)$. Знайди координати точки $P$, якщо $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\vec 0$.
Розв'язання.
| $P(x;\,y)$; | |
| $\overrightarrow{MP}(x-5;\,y-(-1))$, | |
| тобто $\overrightarrow{MP}(x-5;\,y+1)$; | |
| $\overrightarrow{NP}(x-(-3);\,y-3)$, | |
| тобто $\overrightarrow{NP}(x+3;\,y-3)$; | |
| $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}\,(2x-2;\,2y-2)$; | |
| $2x-2=0$, $x=1$; | |
| $2y-2=0$, $y=1$. |
- 1)Позначимо координати точки $P$ буквами $x$ і $y$. За правилом «кінець мінус початок» запишемо координати векторів $\overrightarrow{MP}$ і $\overrightarrow{NP}$.
- 2)Додамо відповідні координати векторів:
$x-5+x+3=2x-2$ і $y+1+y-3=2y-2$. - 3)Нульовий вектор має координати $(0;0)$, тому прирівняємо кожну координату суми до нуля. Розв’язавши рівняння, дістанемо $x=1$ і $y=1$.
Вектори $\overrightarrow{MP}$ і $\overrightarrow{NP}$ закінчуються в точці $P$, мають однакову довжину й протилежні напрямки. Тому $P$ лежить на відрізку $MN$ і є його серединою. Перевіримо відповідь за формулою координат середини:
$\left(\frac{5+(-3)}{2};\,\frac{-1+3}{2}\right)=(1;1)$.
Відповідь: $P(1;\,1)$.
Приклад 9. За якого значення $x$ модуль вектора $\vec p+\vec m-\vec n$ найменший, якщо $\vec p(1;4)$, $\vec m(x;-3)$ і $\vec n(5;2)$?
Розв'язання.
| $1+x-5=x-4$; | |
| $4+(-3)-2=-1$; | |
| $\vec p+\vec m-\vec n\,(x-4;\,-1)$; | |
| $|\vec p+\vec m-\vec n|=$ | |
| $=\sqrt{(x-4)^2+(-1)^2}=$ | |
| $=\sqrt{(x-4)^2+1}$; | |
| $(x-4)^2=0$, якщо $x=4$. |
- 1)До координат $\vec p$ додамо координати $\vec m$ і віднімемо координати $\vec n$:
$1+x-5=x-4$ і $4+(-3)-2=-1$. - 2)Модуль вектора дорівнює кореню із суми квадратів його координат, тобто $\sqrt{(x-4)^2+1}$. Доданок 1 не залежить від $x$, тому корінь найменший, коли найменший доданок $(x-4)^2$.
- 3)Квадрат числа не буває від’ємним, отже, найменше значення $(x-4)^2$ дорівнює 0. Це відбувається, коли $x-4=0$, тобто $x=4$; тоді модуль дорівнює $\sqrt{1}=1$.
Відповідь: $x=4$.
Як перевірити себе
- Побудуй вектори на клітинках і звір зміщення з обчисленими координатами. Координати показують, скільки клітинок вектор проходить праворуч або ліворуч і вгору або вниз.
- Перевір різницю додаванням: до неї додай від’ємник. Маєш отримати зменшуване, бо так означено різницю векторів.
- Сума ланцюжка — це вектор від початку першого вектора до кінця останнього. У замкненій ламаній кінець збігається з початком, тому сума має бути нульовим вектором. Якщо сума вийшла не нульовою, десь переплутано напрямок.
- Знайшовши невідому точку чи координату, підстав відповідь в умову. Рівність має виконатися, бо з неї складали рівняння.
Де найчастіше помиляються
1. Загубили мінус під час віднімання від’ємного числа
Завдання: знайти координати вектора $\vec a-\vec b$, якщо $\vec a(1;\,-2)$, $\vec b(-3;\,-5)$.
Неправильно
| $\vec a-\vec b\,(1-3;\,-2-5)$, | |
| тобто $\vec a-\vec b\,(-2;\,-7)$. |
Правильно
| $\vec a-\vec b\,(1-(-3);\,-2-(-5))$, | |
| тобто $\vec a-\vec b\,(4;\,3)$. |
Що сталося: Координати $\vec b$ від’ємні, але їх записали без дужок і загубили мінуси. Тому віднімали додатні числа замість $-3$ і $-5$.
Як помітити: Додай до знайденої різниці координати $\vec b$. У неправильній відповіді вийде $(-5;-12)$, а не координати $\vec a$, тобто $(1;-2)$.
2. Застосували правило трикутника без ланцюжка векторів
Завдання: $ABCD$ — паралелограм. Знайти суму $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.
Неправильно
| $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}$. |
Правильно
| $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$; | |
| $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=$ | |
| $=\overrightarrow{DB}$. |
Що сталося: $\overrightarrow{AB}$ закінчується в $B$, а $\overrightarrow{CB}$ починається в $C$, тому ланцюжка немає. Спершу заміни $\overrightarrow{CB}$ рівним йому $\overrightarrow{DA}$: протилежні сторони паралелограма рівні й співнапрямлені.
Як помітити: Перш ніж «скорочувати» букви, перевір, чи збігається кінець одного вектора з початком наступного. Якщо точки стику різні, вектори не утворюють ланцюжка.
3. Переплутали напрямок різниці векторів
Завдання: спростити вираз $\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}$.
Неправильно
| $\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{MN}$. |
Правильно
| $\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{NM}$. |
Що сталося: Неправильний вектор проведено від кінця зменшуваного $M$ до кінця від’ємника $N$. Різниця має йти навпаки: від $N$ до $M$.
Як помітити: Перевір відповідь додаванням: до неї додай від’ємник $\overrightarrow{KN}$. Із правильною відповіддю отримаєш $\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{KM}$, а з $\overrightarrow{MN}$ потрібного ланцюжка не буде.
Спробуй сам
- Знайди суму векторів $\vec a(-4;\,9)$ і $\vec b(6;\,-2)$.
- Знайди різницю $\vec c-\vec d$, якщо $\vec c(5;\,-1)$, $\vec d(-3;\,4)$.
- Дано: $\vec a(-1;\,4)$, $\vec b(x;\,y)$, $\vec c(3;\,-2)$, $\vec a+\vec b=\vec c$. Знайди $x$ і $y$.
- Дано: $\vec a(2;\,5)$, $\vec b(x;\,y)$, $\vec c(-1;\,3)$, $\vec a-\vec b=\vec c$. Знайди $x$ і $y$.
- Вектори $\vec a(1;\,4)$ і $\vec b(3;\,-2)$ відклали від точки $O(0;\,0)$. Побудуй на клітинках вектор $\vec a+\vec b$ за правилом паралелограма. У якій точці його кінець?
- Для тих самих векторів побудуй вектор $\vec a-\vec b$. Від якої точки до якої він іде і які в нього координати?
- Спрости вираз $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}$.
- Доведи, що для будь-яких точок $A$, $B$, $C$, $D$ справджується рівність $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$.
- $ABCD$ — паралелограм, $O$ — точка перетину його діагоналей. Знайди суму $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}$.
- $ABCD$ — паралелограм, $O$ — точка перетину його діагоналей, $\overrightarrow{OC}=\vec p$, $\overrightarrow{OD}=\vec q$. Вирази вектори $\overrightarrow{CD}$ і $\overrightarrow{AB}$ через $\vec p$ і $\vec q$.
- Дано точки $A(-3;\,5)$ і $B(7;\,-1)$. Знайди координати точки $K$, для якої $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{KB}=\vec 0$.
- За якого значення $x$ модуль вектора $\vec a+\vec b-\vec c$ буде найменшим, якщо $\vec a(3;\,-1)$, $\vec b(x;\,2)$, $\vec c(-2;\,5)$?
Перевірити відповіді
- $\vec a+\vec b\,(2;\,7)$.
- $\vec c-\vec d\,(8;\,-5)$.
- $x=4$, $y=-6$.
- $x=3$, $y=2$.
- У точці $(4;\,2)$.
- Від точки $(3;\,-2)$ до точки $(1;\,4)$; координати $(-2;\,6)$.
- $\overrightarrow{AE}$.
- $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$, тому ліва й права частини рівні.
- $\overrightarrow{AB}$.
- $\overrightarrow{CD}=\vec q-\vec p$, $\overrightarrow{AB}=\vec p-\vec q$.
- $K(2;\,2)$; повне розв'язання — нижче.
- $x=-5$; повне розв'язання — нижче.
Повне розв'язання завдання 11
| $K(x;\,y)$; $\overrightarrow{AK}(x+3;\,y-5)$; | |
| $\overrightarrow{KB}(7-x;\,-1-y)$; | |
| $x+3-(7-x)=2x-4$; | |
| $y-5-(-1-y)=2y-4$; | |
| $2x-4=0$, $x=2$; $2y-4=0$, $y=2$. |
Запишемо координати векторів за правилом «кінець мінус початок», знайдемо координати різниці й прирівняємо їх до нуля. Перевіримо: різниця дорівнює нулю, коли $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$, тобто $K$ — середина $AB$:
$\left(\frac{-3+7}{2};\,\frac{5+(-1)}{2}\right)=(2;2)$.
Повне розв'язання завдання 12
| $3+x-(-2)=x+5$; | |
| $-1+2-5=-4$; | |
| $\vec a+\vec b-\vec c\,(x+5;\,-4)$; | |
| $|\vec a+\vec b-\vec c|=\sqrt{(x+5)^2+16}$; | |
| $(x+5)^2=0$, якщо $x=-5$. |
Доданок 16 не залежить від $x$, а квадрат $(x+5)^2$ не буває від’ємним. Тому модуль найменший, коли $(x+5)^2=0$, тобто $x=-5$; його значення дорівнює $\sqrt{16}=4$.
Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти загубив мінус перед від’ємною координатою або спрямував різницю навпаки.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити суму векторів як два переміщення поспіль. Спершу треба пройти перший вектор, а з його кінця — другий; тоді сума веде від початку до кінця шляху.
Коли дитина віднімає вектори, запитайте, як перевірити відповідь. Нехай вона додасть до різниці від’ємник і отримає зменшуване, бо так означено різницю; перевірка виявляє загублений мінус і хибний напрямок.