Координати вектора: за початком і кінцем, модуль і рівність векторів — геометрія 9 клас

Ти навчишся знаходити координати вектора за координатами його початку й кінця та модуль вектора за його координатами. Також зможеш перевіряти рівність векторів і знаходити невідомий початок або кінець.

Найчастіше учні віднімають координати кінця від координат початку, тобто навпаки, або гублять мінус, коли віднімають від’ємне число. Перевір ці помилки в розділі «Де найчастіше помиляються».

Що називають координатами вектора

У § 6 вектор задавали кресленням. Якщо на площині є система координат, кожен вектор можна задати парою чисел — координатами вектора.

Вектор із координатами $x$ і $y$ записують так: $\overrightarrow{AB}(x;\,y)$ або $\vec a(x;\,y)$. Координати записують у дужках через крапку з комою, як у точки: $\vec a(5;\,-1)$ має координати 5 і −1.

Перша координата показує, на скільки одиниць змістилися праворуч від початку вектора до кінця; число зі знаком мінус означає рух ліворуч. Друга координата показує зміщення вгору, а число зі знаком мінус — вниз. Тому віднімай координату початку від координати кінця: це правило «кінець мінус початок».

Координатами вектора можуть бути будь-які числа: цілі, дробові, ірраціональні або нуль. Нульовий вектор записують так: $\vec 0(0;\,0)$, бо його початок і кінець збігаються. Якщо перша координата дорівнює нулю, вектор паралельний осі $y$ або лежить на ній. Якщо друга координата дорівнює нулю, вектор паралельний осі $x$ або лежить на ній. Наприклад, для $C(3;\,-1)$ і $D(3;\,4)$ маємо $\overrightarrow{CD}(3-3;\,4-(-1))=(0;\,5)$. Цей вектор напрямлений угору, паралельно осі $y$.

Як знайти модуль вектора за його координатами

Модуль вектора $\overrightarrow{AB}$ дорівнює довжині відрізка $AB$. За формулою відстані між точками з § 3 маємо $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Різниці під коренем є координатами вектора $x$ і $y$.

Якщо обидві координати не дорівнюють нулю, на клітинках вектор є гіпотенузою прямокутного трикутника, а катети дорівнюють зміщенням $|x|$ і $|y|$. Тому модуль знаходять за теоремою Піфагора; знак координати не впливає, бо квадрат від’ємного числа додатний.

Рівні вектори мають рівні координати

Рівні вектори мають однаковий напрямок і довжину, тому від початку до кінця кожного треба пройти однакову кількість клітинок праворуч чи ліворуч і вгору чи вниз. Отже, координати таких векторів однакові. Однакові координати задають однакове зміщення, а воно визначає напрямок і довжину вектора.

Що зміниться, якщо відняти координати навпаки

Для одного вектора розглянемо чотири завдання: спершу віднімемо координати за правилом «кінець мінус початок», потім зробимо це навпаки. Нижче порівняємо, у яких завданнях така помилка помітна, а в яких її не видно.

Завдання: дано точки $A(-4;\,3)$, $B(2;\,-1)$, $O(0;\,0)$, $T(6;\,-4)$ і $P(1;\,1)$. Знайти: 1) координати $\overrightarrow{AB}$; 2) його модуль; 3) чи рівні $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{OT}$; 4) кінець вектора, що дорівнює $\overrightarrow{AB}$ і відкладений від точки P.

Якщо відняти навпаки, обидві координати змінять знак: дістанемо координати $\overrightarrow{BA}$. Цей вектор має ту саму довжину, але протилежний напрямок, тому помилка непомітна під час знаходження модуля.

У завданнях на рівність векторів і знаходження кінця відкладеного вектора така помилка змінює напрямок і дає хибну відповідь. На кресленні від точки $P(1;\,1)$ правильний вектор веде праворуч униз до точки $K(7;\,-3)$, а вектор із хибними координатами — ліворуч угору до точки $(-5;\,5)$.

Як розв’язувати задачі з векторами в чотирикутниках

У паралелограмі $ABCD$ вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ рівні, бо протилежні сторони паралельні й рівні, а обидві стрілки спрямовані від сторони $AD$ до сторони $BC$. І навпаки, якщо $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ і точка $D$ не лежить на прямій $AB$, то $ABCD$ є паралелограмом. Умова про $D$ потрібна: якби $D$ лежала на прямій $AB$, точка $C$ теж опинилася б на ній, і чотирикутника не було б. Перше правило допомагає знайти невідому вершину, а друге — довести, що чотирикутник є паралелограмом.

У паралелограмі $ABCO$ для вершин $A(a;\,b)$ і $C(c;\,0)$ рівність $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$ дає $x-a=c$ і $y-b=0$, де $B(x;\,y)$ — шукана вершина. Звідси $B(a+c;\,b)$: до координат точки $A$ додаємо координати вектора $\overrightarrow{OC}$.

Щоб довести, що чотирикутник є прямокутником, спершу доводять, що він є паралелограмом. Потім порівнюють модулі векторів на діагоналях $AC$ і $BD$: за ознакою прямокутника паралелограм із рівними діагоналями є прямокутником. Повне доведення такого завдання є серед відповідей до «Спробуй сам» (завдання 11).

Як розв’язувати складніші задачі на модуль вектора

Як перевірити себе

1. Зроби ескіз точок на координатній площині. Якщо кінець вектора правіше за початок, перша координата додатна; якщо кінець нижче за початок, друга координата від’ємна, бо координати показують зміщення від початку до кінця.
2. Модуль вектора не менший за модуль кожної координати й не більший за суму модулів координат. Гіпотенуза довша за катет, але коротша за шлях уздовж двох катетів: $\sqrt{6^2+8^2}=10$, а 10 лежить між 8 і $6+8=14$.
3. Знайшовши початок або кінець вектора, обчисли його координати ще раз із новою точкою. Вони мають збігтися із заданими, бо так визначено цей вектор.
4. Якщо в задачі на модуль невідома координата опинилася в квадраті, рівняння може мати два корені з протилежними знаками. Перевір обидва: числа з протилежними знаками мають однаковий квадрат, тому обидва вектори мають потрібну довжину.

Де найчастіше помиляються

1. Відняли координати кінця від координат початку

Завдання: знайти координати вектора $\overrightarrow{KL}$, якщо $K(3;\,-2)$, $L(1;\,5)$.

Що сталося: Від координат початку $K$ відняли координати кінця $L$ і знайшли координати $\overrightarrow{LK}$. Цей вектор має ту саму довжину, але протилежний напрямок, тому обидві координати мають протилежні знаки.

Як помітити: Точка $L$ лівіше за $K$, тому перша координата $\overrightarrow{KL}$ має бути від’ємною. Точка $L$ також вище за $K$, тому друга координата має бути додатною.

2. Загубили мінус під час віднімання від’ємної координати

Завдання: знайти координати вектора $\overrightarrow{PQ}$, якщо $P(-5;\,1)$, $Q(2;\,-3)$.

Що сталося: Абсциса початку дорівнює $-5$, а від 2 відняли 5 замість $-5$. Візьми від’ємне число в дужки: $2-(-5)=2+5=7$.

Як помітити: Точка $Q$ правіше за $P$, тому перша координата $\overrightarrow{PQ}$ має бути додатною. У помилковій відповіді вона вийшла від’ємною.

3. Піднесли від’ємну координату до квадрата без дужок

Завдання: знайти модуль вектора $\vec a(-3;\,4)$.

Що сталося: Запис $-3^2$ означає мінус квадрат числа 3, тобто $-9$. До квадрата треба піднести все число $-3$, тому записуємо $(-3)^2=9$.

Як помітити: Модуль вектора не може бути меншим за модуль його координати. Тому значення $\sqrt{7}$ не може бути модулем вектора з координатою 4, адже $\sqrt{7}\lt4$.

4. Знайшли початок вектора додаванням координат до його кінця

Завдання: точка $B(1;\,4)$ — кінець вектора $\vec c(3;\,-2)$; знайти координати початку A.

Що сталося: Координати вектора додають до координат початку, щоб дістати координати кінця. Тут кінець відомий, тому склади рівняння за правилом «кінець мінус початок».

Як помітити: Перевір: від хибної точки $A(4;\,2)$ до $B(1;\,4)$ вектор має координати (−3; 2). Координати (−3; 2) мають знаки, протилежні знакам даних координат (3; −2), тому вектор напрямлений протилежно.

Спробуй сам

1. Знайди координати вектора $\overrightarrow{AB}$, якщо $A(2;\,-5)$, $B(-1;\,3)$.
2. Знайди координати вектора $\overrightarrow{CD}$ і його модуль, якщо $C(-2;\,1)$, $D(4;\,-7)$.
3. Модуль вектора $\vec p(x;\,8)$ дорівнює 17. Знайди $x$.
4. Порівняй модулі векторів $\vec a(7;\,-1)$ і $\vec b(5;\,5)$.
5. Дано: $\vec m(x;\,-2)$, $\vec n(6;\,y)$, $\vec m=\vec n$. Знайди $x$ і $y$.
6. Чи рівні вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$, якщо $A(3;\,0)$, $B(5;\,4)$, $C(-1;\,-2)$, $D(1;\,2)$?
7. Вектор $\vec a(-2;\,6)$ відклали від точки $P(3;\,-4)$. Знайди координати кінця вектора.
8. Точка $K(0;\,5)$ — кінець вектора $\vec b(4;\,-1)$. Знайди координати початку вектора.
9. ABCO — паралелограм, $O(0;\,0)$, $A(1;\,4)$, $C(6;\,0)$. Знайди координати вершини B.
10. OABC — прямокутник, $O(0;\,0)$, $A(6;\,0)$, $B(6;\,4)$, $C(0;\,4)$, точка M — середина сторони AB. Знайди координати вектора $\overrightarrow{OM}$ і його модуль.
11. Доведи за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами $A(0;\,2)$, $B(2;\,6)$, $C(6;\,4)$, $D(4;\,0)$ — прямокутник.
12. Модуль вектора $\vec a(x;\,y)$ дорівнює $\sqrt{13}$. Знайди координати вектора $\vec a$, якщо координата $y$ на 1 більша за координату $x$.
13. Дано точку $A(2;\,-1)$ і вектор $\vec a(-5;\,12)$. Запиши рівняння, яке задовольняють координати всіх точок B, для яких $|\overrightarrow{AB}|=|\vec a|$.

Перевірити відповіді

1. $\overrightarrow{AB}(-3;\,8)$.
2. $\overrightarrow{CD}(6;\,-8)$, $|\overrightarrow{CD}|=10$.
3. 15 або −15.
4. Модулі рівні: $|\vec a|=|\vec b|=\sqrt{50}$.
5. $x=6$, $y=-2$.
6. Так: $\overrightarrow{AB}(2;\,4)$ і $\overrightarrow{CD}(2;\,4)$.
7. $(1;\,2)$.
8. $(-4;\,6)$.
9. $B(7;\,4)$.
10. $\overrightarrow{OM}(6;\,2)$, $|\overrightarrow{OM}|=2\sqrt{10}$.
11. Повне доведення — нижче.
12. $\vec a(2;\,3)$ або $\vec a(-3;\,-2)$.
13. $(x-2)^2+(y+1)^2=169$.

Повне доведення завдання 11

1)	$\overrightarrow{AB}(2;\,4)$, $\overrightarrow{DC}(2;\,4)$, тому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$;
	$AB$: $2x-y+2=0$; $D(4;\,0)$: $2\cdot4-0+2=10\ne0$;
2)	$\overrightarrow{AC}(6;\,2)$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$;
	$\overrightarrow{BD}(2;\,-6)$, $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$.

Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ рівні, а точка $D$ не лежить на прямій $AB$, тому $ABCD$ — паралелограм. Модулі векторів на діагоналях $AC$ і $BD$ однакові, отже, діагоналі рівні; паралелограм із рівними діагоналями є прямокутником.

Повне розв'язання завдання 12

	$y=x+1$; $x^2+(x+1)^2=13$;
	$2x^2+2x+1=13$; $2x^2+2x-12=0$;
	$x^2+x-6=0$; $x_1=2$, $x_2=-3$;
	$y_1=3$, $y_2=-2$.

Підставляємо $x+1$ замість $y$ у рівність $x^2+y^2=13$ і розв’язуємо квадратне рівняння. Перевірка: $2^2+3^2=13$ і $(-3)^2+(-2)^2=13$.

Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти відняв координати навпаки або загубив мінус, коли віднімав від’ємне число.

Для батьків