Ти навчишся записувати вектори, знаходити їхні модулі й напрямки, знаходити рівні вектори та відкладати вектор, рівний даному.
Рівними часто називають вектори однакової довжини, не перевіривши їхній напрямок. Переставлені літери в записі вектора теж спричиняють помилки, тож переглянь «Де найчастіше помиляються».
Що називають вектором
Довжину, площу, масу, час і температуру задають одним числом. Такі величини називають скалярними величинами, або скалярами.
Швидкість, силу й переміщення не можна описати одним числом: потрібен напрямок. Автомобіль зі швидкістю 60 км/год за годину проїде 60 км, але де він опиниться, залежить від того, куди він їде. Величини з числовим значенням і напрямком називають векторними величинами, або векторами.
Відрізок із визначеним напрямком називають напрямленим відрізком, або вектором.
Вектор малюють відрізком зі стрілкою біля кінця B. Стрілка показує напрямок від A до B.
Вектор позначають двома великими латинськими літерами зі стрілкою: $\overrightarrow{AB}$. Першою літерою записують початок вектора A, а другою — його кінець B, біля якого стоїть стрілка.
Вектор також позначають малою латинською літерою зі стрілкою, наприклад $\vec a$. Так записують вектор, якщо його кінці не мають назв.
Приклад 1. Запиши вектори, зображені на кресленні.
Розв'язання.
- 1)Вектор іде від P до R, стрілка біля R. Тому P — початок, R — кінець, записуємо $\overrightarrow{PR}$.
- 2)Стрілка біля K, отже, вектор іде від N до K. Записуємо $\overrightarrow{NK}$, бо першою пишемо літеру початку.
- 3)Третій вектор позначено літерою $\vec b$.
Відповідь: $\overrightarrow{PR}$, $\overrightarrow{NK}$, $\vec b$.
Приклад 2. Познач у зошиті точки D, E і F, що не лежать на одній прямій, і накресли вектори $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{EF}$ і $\overrightarrow{FD}$.
Розв'язання.
- 1)Познач точки D, E і F так, щоб вони не лежали на одній прямій, і підпиши їх.
- 2)У вектора $\overrightarrow{DE}$ перша літера D позначає початок, а друга літера E — кінець. Проведи відрізок від D до E і постав стрілку біля E.
- 3)Накресли вектор $\overrightarrow{EF}$ від E до F зі стрілкою біля F, а вектор $\overrightarrow{FD}$ — від F до D зі стрілкою біля D.
Відповідь: креслення вище; стрілки стоять біля точок E, F і D — кінців векторів.
Нульовий вектор і його модуль
Якщо початок і кінець збігаються, вектор називають нульовим вектором, або нуль-вектором. Для точки K його записують $\overrightarrow{KK}$ або $\vec 0$. Такий вектор зображують точкою. Нульовий вектор напрямку не має.
Модулем (довжиною, або абсолютною величиною) вектора $\overrightarrow{AB}$ називають довжину відрізка AB. Модуль записують $|\overrightarrow{AB}|$, а для $\vec a$ — $|\vec a|$.
Модуль нульового вектора дорівнює нулю:
$|\vec 0|=0$, бо його початок і кінець збігаються. Модуль іншого вектора додатний, бо його початок і кінець — різні точки.
Приклад 3. Знайди модулі векторів на папері в клітинку, якщо сторона клітинки — одиниця вимірювання.
Розв'язання.
| $|\vec a|=5$; $|\vec b|=2$; | |
| $|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$; | |
| $|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$; | |
| $|\overrightarrow{KK}|=|\vec 0|=0$. |
- 1)$\vec a$ і $\vec b$ ідуть уздовж ліній клітинок. Їхні модулі дорівнюють 5 і 2, бо сторона клітинки — одиниця.
- 2)Вектор $\overrightarrow{CD}$ іде на 4 клітинки праворуч і на 2 клітинки вниз. Ці відрізки є катетами прямокутного трикутника, а сам вектор є його гіпотенузою, тому модуль шукаємо за теоремою Піфагора.
- 3)Для вектора $\overrightarrow{EF}$ катети прямокутного трикутника дорівнюють 1 і 3, тому його модуль дорівнює $\sqrt{10}$.
- 4)Точка K зображує нульовий вектор $\overrightarrow{KK}$ із модулем 0.
Відповідь: $|\vec a|=5$, $|\vec b|=2$, $|\overrightarrow{CD}|=2\sqrt{5}$, $|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{KK}|=0$.
Колінеарні вектори та напрямок
Колінеарними називають ненульові вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарність $\vec a$ і $\vec b$ записують $\vec a\parallel\vec b$.
Нульовий вектор напрямку не має, тому домовилися вважати його колінеарним будь-якому вектору.
Колінеарні вектори бувають співнапрямленими або протилежно напрямленими. У співнапрямлених векторів стрілки показують в один бік: $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$. У протилежно напрямлених векторів стрілки показують у протилежні боки: $\vec a\uparrow\downarrow\vec b$.
Приклад 4. За кресленням запиши пари колінеарних, співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.
Розв'язання.
| 1) | $\vec a\parallel\vec b$, $\vec a\parallel\vec c$, $\vec b\parallel\vec c$, $\vec m\parallel\vec n$; |
| 2) | $\vec a\uparrow\uparrow\vec c$; |
| 3) | $\vec a\uparrow\downarrow\vec b$, $\vec b\uparrow\downarrow\vec c$, $\vec m\uparrow\downarrow\vec n$. |
- 1)$\vec a$, $\vec b$ і $\vec c$ горизонтальні, тому всі три пари колінеарні. $\vec m$ і $\vec n$ теж колінеарні, бо вертикальні. Горизонтальні й вертикальні вектори неколінеарні, бо прямі перетинаються.
- 2)Порівняй стрілки колінеарних пар. $\vec a$ і $\vec c$ співнапрямлені, бо обидві стрілки праворуч; решта пар протилежно напрямлені.
- 3)Кожна колінеарна пара або співнапрямлена, або протилежно напрямлена. Тому 1 пара співнапрямлених і 3 пари протилежно напрямлених векторів разом дають 1 + 3 = 4 пари — стільки ж, скільки пар колінеарних векторів.
Відповідь: 1) $\vec a$ і $\vec b$, $\vec a$ і $\vec c$, $\vec b$ і $\vec c$, $\vec m$ і $\vec n$. 2) $\vec a$ і $\vec c$. 3) $\vec a$ і $\vec b$, $\vec b$ і $\vec c$, $\vec m$ і $\vec n$.
Приклад 5. Накресли довільний вектор $\vec a$, вектор $\vec b$, співнапрямлений з ним, і вектор $\vec c$, протилежно напрямлений вектору $\vec a$. Запиши це символами, а потім з’ясуй, чи колінеарні вектори $\vec b$ і $\vec c$, та як вони напрямлені.
Розв'язання.
| $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$, $\vec a\uparrow\downarrow\vec c$; | |
| $\vec b\parallel\vec c$, $\vec b\uparrow\downarrow\vec c$. |
- 1)Накресли $\vec a$. $\vec b$ зобрази на паралельній прямій зі стрілкою в той самий бік; довжина може бути будь-якою.
- 2)$\vec c$ зобрази на іншій паралельній прямій зі стрілкою у протилежний бік.
- 3)$\vec b$ і $\vec c$ колінеарні, бо лежать на паралельних прямих. Вони протилежно напрямлені, бо вектор $\vec b$ має такий самий напрямок, як $\vec a$, а вектор $\vec c$ напрямлений протилежно до $\vec a$.
Відповідь: $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$, $\vec a\uparrow\downarrow\vec c$; вектори $\vec b$ і $\vec c$ колінеарні й протилежно напрямлені.
Рівні вектори
Ящик пересунули по підлозі на 2 м праворуч, не повертаючи його. Кожен кут ящика перемістився на 2 м у той самий бік, тому стрілки переміщень усіх кутів мають однакову довжину й однаковий напрямок. Такі вектори називають рівними.
Вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені й мають рівні модулі. Рівність $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{MN}$ записують $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}$.
У кожній парі вектори мають однакову довжину, але рівні лише вектори пари 2), бо тільки вони співнапрямлені. Вектори пари 1) навіть не колінеарні. Вектори пари 3) протилежно напрямлені.
Як перевірити рівність векторів
- Перевір, чи вектори лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Інакше вони не рівні, бо рівні вектори колінеарні.
- Порівняй напрямки стрілок. Протилежно напрямлені вектори не рівні, бо рівні вектори співнапрямлені.
- Якщо вектори співнапрямлені, порівняй їхні модулі — довжини відрізків. Вектори рівні, коли модулі однакові.
Означення рівних векторів дає правила для перевірки тверджень.
| Твердження | Чи правильне | |
|---|---|---|
| 1) | Якщо $\vec a=\vec b$, то $|\vec a|=|\vec b|$. | Так, бо за означенням рівні вектори мають рівні модулі. |
| 2) | Якщо $|\vec a|=|\vec b|$, то $\vec a=\vec b$. | Ні, бо однаково довгі вектори можуть бути протилежно напрямленими або неколінеарними. |
| 3) | Якщо $\vec a\uparrow\uparrow\vec b$, то $\vec a=\vec b$. | Ні, бо співнапрямлені вектори можуть мати різні модулі. |
| 4) | Якщо $\vec a=\vec b$, то $\vec a\parallel\vec b$. | Так, бо рівні вектори співнапрямлені, а співнапрямлені вектори колінеарні. |
| 5) | Якщо $\vec a\parallel\vec b$ і $|\vec a|=|\vec b|$, то $\vec a=\vec b$. | Ні, бо колінеарні вектори однакової довжини можуть бути протилежно напрямленими. |
Приклад 6. У паралелограмі ABCD з’ясуй, чи рівні: 1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$; 2) $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{CB}$.
Розв'язання.
| 1) | $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, |
| тому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$; | |
| 2) | $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{CB}|$, але $\overrightarrow{AD}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CB}$, |
| тому $\overrightarrow{AD}\ne\overrightarrow{CB}$. |
- 1)AB і DC — протилежні сторони паралелограма, отже, вони рівні й паралельні. $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ співнапрямлені, бо обидва йдуть від нижньої сторони AD до верхньої сторони BC. Тому вектори рівні.
- 2)AD і CB — протилежні рівні сторони. Але $\overrightarrow{AD}$ іде від A до D, а $\overrightarrow{CB}$ — від C до B, тому вектори протилежно напрямлені й не рівні.
Відповідь: 1) так; 2) ні.
Рівні відрізки ще не означають, що вектори рівні. У паралелограмі ABCD відрізки AD і CB рівні, але вектори $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{CB}$ мають протилежні напрямки, тому не рівні: для вектора мають значення і довжина, і напрямок.
Приклад 7. У прямокутнику MNPK O — перетин діагоналей. Укажи вектор, рівний $\overrightarrow{OM}$, із кінцями в M, N, P, K або O.
Розв'язання.
| $\overrightarrow{PO}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OM}$, $|\overrightarrow{PO}|=|\overrightarrow{OM}|$, | |
| тому $\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OM}$. |
- 1)Прямокутник є паралелограмом, а діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Отже, точка O є серединою діагоналі MP, тому PO = OM.
- 2)Вектори $\overrightarrow{PO}$ і $\overrightarrow{OM}$ лежать на одній прямій MP і обидва напрямлені від точки P до точки M. Тому вони рівні: у них однаковий напрямок і однакова довжина.
- 3)$\overrightarrow{MO}$ має таку саму довжину, як $\overrightarrow{OM}$, але протилежний напрямок. $\overrightarrow{ON}$ і $\overrightarrow{OK}$ теж мають таку саму довжину, як $\overrightarrow{OM}$, бо діагоналі прямокутника рівні. Вони лежать на іншій діагоналі NK, тому неколінеарні з $\overrightarrow{OM}$.
Відповідь: $\overrightarrow{PO}$.
Приклад 8. У прямокутнику ABCD AB = 6, BC = 8, M — середина BC. Знайди модулі $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{AM}$.
Розв'язання.
| 1) | $|\overrightarrow{AC}|=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=$ |
| $=\sqrt{6^2+8^2}=10$; | |
| 2) | $|\overrightarrow{DA}|=DA=BC=8$; |
| 3) | $BM=8:2=4$; |
| $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{AB^2+BM^2}=$ | |
| $=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. |
- 1)Модуль вектора дорівнює довжині відрізка. Знайдемо AC, DA й AM; напрямок на довжину не впливає.
- 2)AC — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC з катетами AB = 6 і BC = 8, тому за теоремою Піфагора AC = 10. DA = BC = 8, бо це протилежні сторони прямокутника.
- 3)M — середина BC, тому BM = 8 : 2 = 4. У трикутнику ABM катети 6 і 4, отже, $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ за теоремою Піфагора.
Відповідь: $|\overrightarrow{AC}|=10$, $|\overrightarrow{DA}|=8$, $|\overrightarrow{AM}|=2\sqrt{13}$.
Рівні вектори й паралелограм
Якщо $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ і точки A, B, C, D не лежать на одній прямій, ABDC — паралелограм. І навпаки: в ABDC вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ рівні.
Рівні вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$ лежать на паралельних прямих і мають однакову довжину. Тому в чотирикутнику ABDC протилежні сторони AB і CD паралельні й рівні, а за ознакою паралелограма ABDC є паралелограмом. Отже, ABDC — звичайний чотирикутник, у якого сторони AC і BD не перехрещуються.
Такий паралелограм називають ABDC, а не ABCD. Його вершини обходять у порядку A, B, D, C: спочатку початок і кінець першого вектора, а потім кінець і початок другого. Саме тому в паралелограмі ABCD рівні вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$.
Як відкласти від точки вектор, рівний даному
Відкласти від точки M вектор, рівний $\overrightarrow{AB}$, означає побудувати такий вектор $\overrightarrow{MN}$, що $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$. Така точка N існує і вона єдина, бо напрямок і довжина визначають її положення однозначно.
Як відкласти від точки M вектор, рівний $\overrightarrow{AB}$
- З’ясуй, чи лежить точка M на прямій AB, бо від цього залежить спосіб побудови.
- Якщо точка M не лежить на прямій AB, проведи через точку M пряму, паралельну AB, а через точку B — пряму, паралельну AM. Точку перетину цих прямих познач N. Чотирикутник ABNM — паралелограм, бо його протилежні сторони попарно паралельні, тому $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$.
- Якщо точка M лежить на прямій AB, відклади від точки M на цій прямій відрізок MN у напрямку вектора $\overrightarrow{AB}$. Перенеси довжину AB циркулем, бо вектори мають бути співнапрямленими й мати однакові модулі.
Приклад 9. Точка M не лежить на прямій AB. Відклади від точки M вектор $\overrightarrow{MN}$, що дорівнює вектору $\overrightarrow{AB}$.
Розв'язання.
- 1)Проведи через M пряму, паралельну AB.
- 2)Через B проведи пряму, паралельну AM. Їхній перетин познач N.
- 3)У ABNM протилежні сторони паралельні, тому це паралелограм. Отже, MN = AB і MN ∥ AB. B і N лежать по один бік від AM, тому вектори співнапрямлені й рівні.
Відповідь: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$, де N — четверта вершина паралелограма ABNM.
Приклад 10. Точка K лежить на прямій AB поза відрізком AB, з боку точки B. Відклади від точки K вектор $\overrightarrow{KL}$, що дорівнює вектору $\overrightarrow{AB}$.
Розв'язання.
- 1)Усі точки лежать на одній прямій, тому побудувати паралелограм не можна. Візьми циркулем відстань AB.
- 2)Від K уздовж AB відклади довжину в напрямку стрілки $\overrightarrow{AB}$, від A до B. Кінець познач L.
- 3)Вектори $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{AB}$ лежать на одній прямій, співнапрямлені й мають рівні модулі. Отже, вони рівні.
Відповідь: $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}$, де KL = AB і точка L лежить на прямій AB за точкою K у напрямку від A до B.
Приклад 11. Дано точки A(1; 2), B(4; 3) і M(−1; −2). Відклади від точки M вектор $\overrightarrow{MN}$, що дорівнює вектору $\overrightarrow{AB}$, і знайди координати точки N.
Розв'язання.
| 1) | $O$ — середина $BM$: |
| $x_O=\dfrac{4+(-1)}{2}=1{,}5$; $y_O=\dfrac{3+(-2)}{2}=0{,}5$; | |
| 2) | $O$ — середина $AN$: |
| $\dfrac{1+x_N}{2}=1{,}5$, $1+x_N=3$, $x_N=2$; | |
| $\dfrac{2+y_N}{2}=0{,}5$, $2+y_N=1$, $y_N=-1$. |
- 1)Спершу складемо рівняння прямої AB, як у § 5:
кутовий коефіцієнт $k=\dfrac{3-2}{4-1}=\dfrac{1}{3}$, тоді $y-2=\dfrac{1}{3}(x-1)$, тобто $x-3y+5=0$. Для точки M(−1; −2) ліва частина дорівнює $-1+6+5=10$, це число не дорівнює нулю, тому M не лежить на прямій AB. Отже, за правилом про рівні вектори ABNM — паралелограм, і його діагоналі AN і BM точкою перетину O діляться навпіл. - 2)Точка O — середина відрізка BM. Кожна координата середини дорівнює половині суми відповідних координат кінців відрізка, тому O(1,5; 0,5).
- 3)Точка O також є серединою відрізка AN. Підставимо у формули середини координати точок A і O і розв’яжемо два рівняння: дістанемо N(2; −1).
- 4)Від A до B — 3 клітинки праворуч і 1 угору. Такий самий зсув від M(−1; −2) приводить у N(2; −1).
Відповідь: N(2; −1).
Задачі про вектори в чотирикутниках
Приклад 12. Визнач вид чотирикутника ABCD, якщо $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ і $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$.
Розв'язання.
- 1)У рівності $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ми послідовно беремо початок і кінець першого вектора A і B, а потім кінець і початок другого вектора C і D. За правилом про рівні вектори чотирикутник із вершинами в такому порядку, тобто ABCD, є паралелограмом.
- 2)Рівність модулів означає, що діагоналі AC і BD рівні. Паралелограм, у якого діагоналі рівні, є прямокутником.
Відповідь: прямокутник.
Приклад 13. У чотирикутнику ABCD $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, K — середина AD, пряма CK перетинає промінь BA в точці P. Знайди пари серед $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{BC}$: 1) колінеарних; 2) співнапрямлених; 3) протилежно напрямлених; 4) рівних; 5) з рівними модулями.
Розв'язання.
| 1) | $\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}\parallel\overrightarrow{DK}$, |
| $\overrightarrow{AK}\parallel\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DK}\parallel\overrightarrow{BC}$; | |
| 2) | $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}$; |
| 3) | $\overrightarrow{AK}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{DK}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BC}$; |
| 4) | $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PA}$; |
| 5) | $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{PA}|$, $|\overrightarrow{AK}|=|\overrightarrow{DK}|$. |
- 1)Із $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ випливає, що ABCD — паралелограм. Тому AB ∥ DC, AB = DC і AD ∥ BC.
- 2)Трикутники PAK і CDK рівні за стороною та двома прилеглими кутами. AK = KD, бо K — середина AD; кути при K вертикальні, а кути PAK і CDK рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і DC та січній AD. Тому PA = DC = AB.
- 3)Точки P, A і B лежать на одній прямій, причому точка A лежить між P і B, бо P — на продовженні сторони BA за точку A. Тому вектори $\overrightarrow{PA}$ і $\overrightarrow{AB}$ співнапрямлені, а оскільки PA = AB, вони рівні.
- 4)Вектори $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{DK}$ лежать на прямій AD і напрямлені назустріч один одному, бо обидва спрямовані до точки K. Вектор $\overrightarrow{BC}$ співнапрямлений з $\overrightarrow{AD}$, бо в паралелограмі ABCD ці вектори на протилежних сторонах рівні. Оскільки $\overrightarrow{AK}$ іде по AD від A до D, вектори $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{AK}$ співнапрямлені. Модулі $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{DK}$ рівні, бо K — середина AD.
- 5)Інших рівних модулів умова не гарантує. Відрізок BC дорівнює AD, тобто він удвічі довший за AK, а довжини AB і AK можуть бути різними.
Відповідь: 1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DK}$ і $\overrightarrow{BC}$. 2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{BC}$. 3) $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{DK}$ і $\overrightarrow{BC}$. 4) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{PA}$. 5) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{DK}$.
Як перевірити себе
- Якщо назвав вектори рівними, перевір, чи стрілки показують в один бік. Рівні вектори мають однакові довжину й напрямок.
- Перевір, що другою в записі вектора стоїть літера тієї точки, біля якої намальовано стрілку. Першою літерою записують початок, а другою — кінець.
- Клітинки праворуч і клітинки вгору чи вниз утворюють катети прямокутного трикутника, а сам вектор є його гіпотенузою. Тому модуль більший за кожен катет, але менший від їхньої суми: гіпотенуза довша за катет, а пряма дорога коротша за ламану. Наприклад, вектор на 5 клітинок праворуч і на 2 вниз має модуль $\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$, що більше за 5 і менше від 5 + 2 = 7.
- Якщо на координатній площині ти відклав вектор, рівний даному, порахуй клітинки праворуч або ліворуч і вгору або вниз від початку до кінця кожного вектора. У рівних векторів ці кількості клітинок однакові, бо рівні вектори мають однаковий напрямок і однакову довжину.
Де найчастіше помиляються
1. Похилий вектор виміряли сумою клітинок
Завдання: знайти модуль вектора $\overrightarrow{EF}$, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці.
Неправильно
| $|\overrightarrow{EF}|=3+4=7$. |
Правильно
| $|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. |
Що сталося: Додавши 3 клітинки праворуч і 4 вгору, знайшли ламану, а не вектор. Вектор є гіпотенузою, довжину якої знаходять за теоремою Піфагора.
Як помітити: Похилий вектор коротший за шлях уздовж катетів. Якщо модуль дорівнює сумі катетів, це помилка.
2. У паралелограмі переплутали порядок літер у записі векторів
Завдання: ABCD — паралелограм; записати рівність векторів, що лежать на сторонах AB і CD.
Неправильно
| $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. |
Правильно
| $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. |
Що сталося: Літери записали в тому порядку, як у назві ABCD. Але $\overrightarrow{CD}$ іде від C до D, униз, а $\overrightarrow{AB}$ — угору. Вектори протилежно напрямлені, тому не рівні.
Як помітити: Накресли стрілки обох векторів: у рівних векторів вони показують в один бік. У паралелограмі ABCD вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ обидва йдуть від нижньої сторони AD до верхньої BC. Вектор $\overrightarrow{CD}$ іде від BC до AD, тобто в протилежний бік.
3. Вектори однакової довжини назвали рівними
Завдання: KLMN — ромб; з'ясувати, чи рівні вектори $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{LM}$.
Неправильно
| $KL=LM$, тому $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{LM}$. |
Правильно
| $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{LM}$ не колінеарні, | |
| тому $\overrightarrow{KL}\ne\overrightarrow{LM}$. |
Що сталося: У ромба всі сторони рівні, тому модулі $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{LM}$ однакові. Їхні прямі перетинаються в L, тож вектори неколінеарні. Однакової довжини для рівності недостатньо.
Як помітити: Перш ніж записати рівність, перевір напрямки. Рівні вектори колінеарні та співнапрямлені.
Спробуй сам
- Вектор має початок у точці D і кінець у точці S. Запиши цей вектор.
- На папері в клітинку вектор $\vec p$ іде на 5 клітинок праворуч і на 12 клітинок угору. Знайди $|\vec p|$, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці.
- Вектори $\vec a$ і $\vec b$ співнапрямлені, а вектори $\vec b$ і $\vec c$ протилежно напрямлені. Чи колінеарні вектори $\vec a$ і $\vec c$? Як вони напрямлені?
- Чи правильне твердження: «Якщо $\vec a\uparrow\downarrow\vec b$, то $|\vec a|\ne|\vec b|$»?
- KLMN — квадрат. Укажи вектор з початком у точці K, що дорівнює вектору $\overrightarrow{NM}$.
- ABCD — прямокутник, O — точка перетину його діагоналей. Укажи вектор, що дорівнює вектору $\overrightarrow{BO}$.
- У прямокутнику ABCD сторони AB = 5 і BC = 24, точка K — середина сторони BC. Знайди $|\overrightarrow{AK}|$ і $|\overrightarrow{DA}|$.
- Дано точки A(2; −1), B(5; 1) і P(−1; 3). Відклади від точки P вектор $\overrightarrow{PK}$, що дорівнює вектору $\overrightarrow{AB}$, і знайди координати точки K.
- Визнач вид чотирикутника ABCD, якщо $\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}$ і $|\overrightarrow{AD}|\ne|\overrightarrow{BC}|$.
- ABCD — паралелограм, O — точка перетину його діагоналей. Серед векторів $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{DO}$ укажи пару рівних векторів і пару протилежно напрямлених.
- Діагональ квадрата ABCD дорівнює $5\sqrt{2}$. Знайди $|\overrightarrow{AB}|$ і $|\overrightarrow{CA}|$.
Перевірити відповіді
- $\overrightarrow{DS}$.
- 13.
- Так, колінеарні; $\vec a\uparrow\downarrow\vec c$.
- Ні: протилежно напрямлені вектори можуть мати рівні модулі.
- $\overrightarrow{KL}$.
- $\overrightarrow{OD}$.
- $|\overrightarrow{AK}|=13$, $|\overrightarrow{DA}|=24$.
- K(2; 5).
- Трапеція з основами AD і BC.
- $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{BO}\uparrow\downarrow\overrightarrow{DO}$.
- $|\overrightarrow{AB}|=5$, $|\overrightarrow{CA}|=5\sqrt{2}$.
Повне розв'язання завдання 8
| 1) | $O$ — середина $BP$: |
| $x_O=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$; $y_O=\dfrac{1+3}{2}=2$; | |
| 2) | $O$ — середина $AK$: |
| $\dfrac{2+x_K}{2}=2$, $2+x_K=4$, $x_K=2$; | |
| $\dfrac{-1+y_K}{2}=2$, $-1+y_K=4$, $y_K=5$. |
Кутовий коефіцієнт прямої AB дорівнює $k=\dfrac{1-(-1)}{5-2}=\dfrac{2}{3}$, тоді $y+1=\dfrac{2}{3}(x-2)$, тобто $2x-3y-7=0$. Для P(−1; 3) ліва частина дорівнює $-2-9-7=-18$, це не нуль, тому P не лежить на прямій AB, і ABKP — паралелограм. Діагоналі AK і BP мають спільну середину O: спершу знаходимо O як середину BP, а потім за формулою середини AK дістаємо K(2; 5). Перевірка клітинками підтверджує результат: від A до B треба пройти 3 клітинки праворуч і 2 вгору; такий самий зсув від P(−1; 3) приводить у K(2; 5).
Повне розв'язання завдання 9
Співнапрямленість $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{BC}$ означає, що їхні прямі паралельні, бо співнапрямлені вектори колінеарні.
Якби ще й пряма AB була паралельна прямій CD, то ABCD був би паралелограмом, і тоді AD = BC. Але за умовою $|\overrightarrow{AD}|\ne|\overrightarrow{BC}|$, отже, паралельна лише одна пара сторін, і ABCD — трапеція з основами AD і BC.
Якщо відповідь не збіглася, переглянь «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти сплутав напрямки однаково довгих векторів або переставив літери.
Для батьків
Попросіть дитину накреслити два однаково довгі, але нерівні вектори. Вони можуть бути протилежно напрямленими або лежати на прямих, що перетинаються. Так ви перевірите розуміння напрямку й довжини.
Попросіть дитину прочитати вголос запис вектора з двох літер і показати на кресленні його початок та кінець. Якщо переставити літери, вектор зміниться на протилежно напрямлений.