Рівняння прямої: через дві точки, кутовий коефіцієнт, паралельність — геометрія 9 клас

Приклад 1. Чи є рівняння рівнянням прямої і чи лежить на прямій точка

1) Які з рівнянь є рівняннями прямої: а) $5x-2y+1=0$; б) $x^2-y=3$; в) $4y-8=0$; г) $xy=6$?

2) Чи належать прямій $2x+y-5=0$ точки $A(1; 3)$ і $B(3; 1)$? Чи належить прямій $y=4$ точка $C(-6; 4)$?

Розв'язання.

1. 1)У рівнянні прямої є лише $x$ і $y$ у першому степені та число. Рівняння в) не має $x$, але це не заважає: тут $a=0$. З $4y=8$ маємо $y=2$ — пряму, паралельну осі абсцис.
2. 2)Щоб перевірити точку, підставляємо її координати в ліву частину. Вийшов 0 — точка на прямій.
3. 3)Рівняння $y=4$ перевіряє лише ординату. Абсциса може бути будь-якою, тому $C(-6; 4)$ лежить на прямій.

Відповідь: 1) а), в); 2) $A$ і $C$ належать, $B$ — ні.

Приклад 2. Пряма через початок координат і прямі, паралельні осям

1) Які з прямих проходять через початок координат: а) $4x+7y=0$; б) $x-3y+2=0$?

2) Запишемо рівняння прямих, що проходять через точку $P(3; -2)$ паралельно осі абсцис і осі ординат.

Розв'язання.

Дві прямі через точку P(3; −2).

1. 1)Пряма проходить через $O(0; 0)$, коли в рівнянні немає вільного члена, тобто $c=0$.
2. 2)У прямої, паралельної осі абсцис, усі точки мають ординату точки $P$, тобто −2. Тому $y=-2$.
3. 3)У прямої, паралельної осі ординат, усі точки мають абсцису 3. Тому $x=3$.
4. 4)Так само записують рівняння за малюнком: дивимося, через яку позначку на осі проходить пряма, перпендикулярна до цієї осі. Вертикальна пряма через позначку 3 на осі абсцис — це $x=3$.

Відповідь: 1) а); 2) $y=-2$ і $x=3$.

Приклад 3. Точки перетину прямої з осями координат

Знайдемо, у яких точках пряма $4x-3y-12=0$ перетинає осі координат.

Розв'язання.

Пряма перетинає осі в точках A і B.

1. 1)Точка на осі абсцис має ординату 0. Підставляємо $y=0$ і знаходимо $x$.
2. 2)Точка на осі ординат має абсцису 0. Підставляємо $x=0$ і знаходимо $y$.
3. 3)Двох знайдених точок досить, щоб провести пряму.

Відповідь: $A(3; 0)$, $B(0; -4)$.

Приклад 4. Рівняння прямої через дві точки: три випадки

Складемо рівняння прямих, що проходять через дві точки:

1) $C(-1; 4)$ і $D(5; 4)$; 2) $M(2; -3)$ і $N(2; 6)$; 3) $A(-2; 3)$ і $B(2; 1)$.

Розв'язання.

Пряма з пункту 3 проходить через A(−2; 3) і B(2; 1).

1. 1)У пунктах 1 і 2 одна з координат однакова. Формула з дробами тут не працює: у знаменнику вийшов би 0.
2. 2)У пункті 3 за точку $A(x_1; y_1)$ беремо $A(-2; 3)$, за $B(x_2; y_2)$ — $B(2; 1)$. Від'ємну абсцису −2 беремо в дужки.
3. 3)За основною властивістю пропорції: $-2\cdot (x+2)=4\cdot (y-3)$.
4. 4)Переносимо все праворуч, щоб біля $x$ стояло додатне число: $0=4y-12+2x+4$. Ділимо на 2.
5. 5)Перевірка. $A$: −2 + 2 · 3 − 4 = 0. $B$: 2 + 2 · 1 − 4 = 0. Обидві точки лежать на прямій.

Відповідь: 1) $y=4$; 2) $x=2$; 3) $x+2y-4=0$.

Приклад 5. Одна пряма — два способи

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A(1; 3)$ і $B(4; 9)$.

Розв'язання.

Спосіб 1. Через $y=kx+l$. Координати обох точок задовольняють рівняння $y=kx+l$, тому маємо систему з невідомими $k$ і $l$.

Спосіб 2. За формулою через дві точки.

1. 1)Відповіді мають різний вигляд, але це одна пряма. Із $2x-y+1=0$ маємо $y=2x+1$.
2. 2)Перевірка. $A$: 2 · 1 + 1 = 3 — правильно. $B$: 2 · 4 + 1 = 9 — правильно.
3. 3)Перший спосіб зручний, коли відповідь потрібна у вигляді $y=kx+l$. Другий — коли потрібне загальне рівняння.

Відповідь: $2x-y+1=0$, або $y=2x+1$.

Приклад 6. Знайди кутовий коефіцієнт

1) Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $MN$, якщо $M(-2; 1)$, $N(1; 7)$.

2) Запишемо рівняння $3x+2y-8=0$ у вигляді $y=kx+l$ і назвемо кутовий коефіцієнт.

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 від ординати другої точки віднімаємо ординату першої. Від абсциси — так само, у тому самому порядку.
2. 2)У пункті 2 залишаємо ліворуч лише $2y$, решту переносимо праворуч зі зміною знаків. Потім ділимо обидві частини на 2.
3. 3)Перша пряма має $k=2\gt 0$, тож кут з віссю абсцис гострий. У другої $k=-1{,}5\lt 0$, кут тупий.

Відповідь: 1) 2; 2) $y=-1{,}5x+4$, $k=-1{,}5$.

Приклад 7. Пряма через точку з даним кутовим коефіцієнтом або кутом

Складемо рівняння прямої, що проходить:

1) через точку $A(1; -4)$ з кутовим коефіцієнтом 3;

2) через точку $D(4; 1)$ з кутовим коефіцієнтом $\frac{1}{2}$;

3) через точку $B(-2; 1)$ і утворює з додатним напрямком осі абсцис кут 45°;

4) через точку $C(0; 2)$ під кутом 120° до додатного напрямку осі абсцис.

Розв'язання.

1. 1)Підставляємо $x_0$, $y_0$ і $k$ у формулу $y-y_0=k(x-x_0)$. Від'ємну координату беремо в дужки: $y-(-4)=y+4$.
2. 2)Якщо $k$ — дріб, множимо обидві частини на знаменник. У пункті 2 множимо на 2, і дріб зникає.
3. 3)Якщо дано кут, спершу знаходимо $k=\operatorname{tg}\alpha$. Для тупого кута тангенс від'ємний. З § 2: $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$, отже, $\operatorname{tg}120^\circ=-\operatorname{tg}60^\circ$.
4. 4)Якщо $k=0$, формула дає $y-y_0=0$, тобто $y=y_0$: пряма паралельна осі абсцис.
5. 5)Перевірка пункту 1: 3 · 1 − (−4) − 7 = 0 — точка $A$ лежить на прямій.

Відповідь: 1) $3x-y-7=0$; 2) $x-2y-2=0$; 3) $x-y+3=0$; 4) $\sqrt{3}x+y-2=0$.

Приклад 8. Паралельні чи перетинаються

1) Чи перетинаються прямі $y=5x-2$ і $y=5x+1$? А прямі $y=-x+3$ і $y=4x$?

2) Серед прямих укажемо пари паралельних:

а) $3x-y+2=0$; б) $x+2y-5=0$; в) $6x-2y+7=0$;

г) $2x+4y+1=0$; ґ) $3x+y-4=0$.

Розв'язання.

1. 1)Кожне загальне рівняння зводимо до вигляду $y=kx+l$. Наприклад, для в): $2y=6x+7$, $y=3x+3{,}5$.
2. 2)Шукаємо однакові $k$. Це пари а) і в) та б) і г).
3. 3)Перевіряємо, що $l$ у парах різні: 2 і 3,5; 2,5 і −0,25. Отже, прямі різні й паралельні.
4. 4)Пряма ґ) має $k=-3$. Знак важливий: вона не паралельна прямій а), де $k=3$.

Відповідь: 1) перші не перетинаються, другі перетинаються; 2) а) і в), б) і г).

Приклад 9. Пряма, паралельна або перпендикулярна до даної

1) Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $K(1; 5)$ паралельно прямій $6x+3y-1=0$.

2) Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $A(3; 5)$ перпендикулярно до прямої $y=-0{,}5x+4$.

Розв'язання.

Пряма з пункту 2 проходить через A(3; 5). Дану пряму вона перетинає під прямим кутом у точці H(2; 3).

1. 1)Паралельна пряма має той самий кутовий коефіцієнт. Тому спершу знаходимо $k$ даної прямої: $y=-2x+\frac{1}{3}$, $k=-2$.
2. 2)Далі — формула $y-y_0=k(x-x_0)$ з точкою $K(1; 5)$. Вільні члени 7 і $\frac{1}{3}$ різні, тому прямі паралельні й не збігаються.
3. 3)Для перпендикулярної прямої добуток кутових коефіцієнтів дорівнює −1. У даної прямої $k_1=-0{,}5$, тому $k_2=2$: $-0{,}5\cdot 2=-1$.
4. 4)Перевірка пункту 2: $2\cdot 3-5-1=0$ — точка $A$ на прямій.

Відповідь: 1) $2x+y-7=0$; 2) $2x-y-1=0$.

Приклад 10. Точка перетину двох прямих

Знайдемо точку перетину прямих $3x-y-1=0$ і $x+2y-12=0$.

Розв'язання.

Прямі перетинаються в точці M(2; 5).

1. 1)Записуємо систему з рівнянь обох прямих.
2. 2)З першого рівняння легко виразити $y$. Підставляємо цей вираз у друге рівняння.
3. 3)Розкриваємо дужки: $x+6x-2-12=0$, тобто $7x-14=0$.
4. 4)Перевірка другим рівнянням: $2+2\cdot 5-12=0$ — правильно.

Відповідь: (2; 5).

Приклад 11. Пряма, що містить медіану трикутника

Складемо рівняння прямої, яка містить медіану $AM$ трикутника $ABC$, якщо $A(1; 1)$, $B(-3; 7)$, $C(7; 5)$.

Медіана AM з'єднує вершину A із серединою M сторони BC.

Розв'язання.

1. 1)Медіана $AM$ проходить через вершину $A$ і середину $M$ протилежної сторони $BC$. Координати середини знаходимо за формулами з § 3.
2. 2)Тепер маємо дві точки $A$ і $M$ і складаємо рівняння прямої через них.
3. 3)Перевірка: $A$: $5-1-4=0$; $M$: $10-6-4=0$.

Відповідь: $5x-y-4=0$.

Приклад 12. Три точки на одній прямій

За якого значення $a$ точки $A(-2; 5)$, $B(1; 3)$ і $C(a; -1)$ лежать на одній прямій?

Розв'язання.

Точка C(7; −1) лежить на прямій AB.

1. 1)Складаємо рівняння прямої через дві відомі точки $A$ і $B$.
2. 2)Точка $C$ має лежати на цій прямій, тому її координати задовольняють рівняння. Підставляємо $x=a$, $y=-1$ і розв'язуємо рівняння з однією невідомою.
3. 3)Інший спосіб: кутові коефіцієнти прямих $AB$ і $BC$ рівні. Маємо $\frac{3-5}{1+2}=\frac{-1-3}{a-1}$, тобто $-\frac{2}{3}=\frac{-4}{a-1}$. Звідси $a-1=6$ і $a=7$.

Відповідь: $a=7$.