Ти навчишся знаходити синус, косинус і тангенс кута за одиничним півколом. Ти застосовуватимеш тригонометричні тотожності й визначатимеш кут за його значенням на калькуляторі.
У тупого кута косинус і тангенс від’ємні, а за синусом можна знайти два кути. Якщо ти вже розв’язав вправи й шукаєш помилку, почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Одиничне півколо: як знайти синус, косинус і тангенс
У 8 класі ти знаходив синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника як відношення його сторін. Тупого кута в такому трикутнику немає, тому потрібне нове означення, яке для гострих кутів дає ті самі значення синуса, косинуса й тангенса.
Накресли в прямокутній системі координат півколо радіуса 1 із центром у початку координат O, над віссю x. Його називають одиничним півколом, а точку на додатному напрямку осі x позначають A(1; 0). Від променя OA відкладай кути проти годинникової стрілки: кожному куту α від 0° до 180° відповідає точка B(x; y), для якої ∠AOB = α.
На одиничному півколі точка B(x; y) відповідає куту α, а OB = 1, OC = x і BC = y. Точки A(1; 0), M(0; 1) і N(−1; 0) відповідають кутам 0°, 90° і 180°.
Синус кута α дорівнює ординаті точки B, косинус — її абсцисі, а тангенс — відношенню ординати до абсциси.
$\sin\alpha=y$; $\cos\alpha=x$; $\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$
$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
У прямокутному трикутнику OBC гіпотенуза OB дорівнює 1. Тому відношення сторін із 8 класу дають саме координати точки B:
| $\sin\alpha=\frac{BC}{OB}=\frac{y}{1}=y$; | |
| $\cos\alpha=\frac{OC}{OB}=\frac{x}{1}=x$; | |
| $\operatorname{tg}\alpha=\frac{BC}{OC}=\frac{y}{x}$. |
Оскільки $y=\sin\alpha$, а $x=\cos\alpha$, маємо $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Точка тупого кута лежить у другій чверті: вище осі x і ліворуч від осі y. Тому синус додатний, а косинус і тангенс від’ємні.
| Кут α | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\operatorname{tg}\alpha$ |
|---|---|---|---|
| гострий | $\gt0$ | $\gt0$ | $\gt0$ |
| тупий | $\gt0$ | $\lt0$ | $\lt0$ |
На півколі ордината y набуває значень від 0 до 1, а абсциса x — від −1 до 1. Тому для кутів від 0° до 180° синус набуває значень від 0 до 1, а косинус — від −1 до 1. Отже, кута із синусом −0,2 чи з косинусом 1,2 серед кутів від 0° до 180° немає, а кут із косинусом −0,2 є, і він тупий.
Кутам 0°, 90° і 180° відповідають точки A(1; 0), M(0; 1) і N(−1; 0). Тому cos 180° = −1, а sin 90° = 1; тангенс 90° не існує, бо абсциса точки M дорівнює 0 і на нуль ділити не можна. Усі ці значення наведено в таблиці нижче.
Приклад 1. Точка $P\left(-\frac{12}{13};\,\frac{5}{13}\right)$ лежить на одиничному півколі. Знайди синус, косинус і тангенс кута α між променями OA і OP, де A(1; 0).
Розв'язання.
| $\sin\alpha=y=\frac{5}{13}$; | |
| $\cos\alpha=x=-\frac{12}{13}$; | |
| $\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac{5}{13}:\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{5}{12}$. |
- 1)За означенням синус дорівнює ординаті точки P, тобто $\frac{5}{13}$, а косинус дорівнює її абсцисі $-\frac{12}{13}$.
- 2)Тангенс дорівнює ординаті, поділеній на абсцису. Поділи $\frac{5}{13}$ на $-\frac{12}{13}$: знаменники скоротяться, і ти отримаєш $-\frac{5}{12}$.
- 3)Косинус і тангенс від’ємні, бо точка P лежить ліворуч від осі y. Отже, кут α тупий.
Відповідь: $\sin\alpha=\frac{5}{13}$, $\cos\alpha=-\frac{12}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{5}{12}$.
Основна тригонометрична тотожність
Тригонометричні тотожності — це рівності, які пов’язують синус, косинус і тангенс того самого кута. Вони правильні для всіх кутів, для яких існують усі їхні частини. Наприклад, рівність із тангенсом не стосується кута 90°, бо tg 90° не існує.
Для будь-якого кута α від 0° до 180° сума квадратів синуса й косинуса дорівнює 1. Цю рівність називають основною тригонометричною тотожністю.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Точка B лежить на півколі радіуса 1, тому теорема Піфагора для трикутника OBC дає $y^2+x^2=1$. Оскільки y — це sin α, а x — cos α, маємо основну тригонометричну тотожність; запис $\sin^2\alpha$ означає $(\sin\alpha)^2$.
Із тотожності можна виразити синус через косинус, а косинус — через синус. Синус кута від 0° до 180° не буває від’ємним, тому у формулі для нього беремо лише знак «+». Косинус гострого кута додатний, а тупого й розгорнутого — від’ємний, тому для нього обираємо знак за видом кута.
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$
$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$
Приклад 2. Відомо, що $\sin\alpha=0{,}6$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$. Знайди $\cos\alpha$ і $\operatorname{tg}\alpha$.
Розв'язання.
| $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-0{,}6^2}=$ | |
| $=\pm\sqrt{1-0{,}36}=\pm\sqrt{0{,}64}=$ | |
| $=\pm0{,}8$; | |
| 1) | α гострий: $\cos\alpha=0{,}8$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75$; |
| 2) | α тупий: $\cos\alpha=-0{,}8$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{0{,}6}{-0{,}8}=-0{,}75$. |
- 1)Додатний синус мають гострий і тупий кути, тому косинус може мати обидва знаки. Знайдемо його модуль:
$0{,}6^2=0{,}36$, $1-0{,}36=0{,}64$, $\sqrt{0{,}64}=0{,}8$. - 2)Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус. Для гострого кута косинус дорівнює 0,8 і тангенс — 0,75, а для тупого косинус дорівнює −0,8 і тангенс — −0,75.
Відповідь: якщо α гострий, то $\cos\alpha=0{,}8$, $\operatorname{tg}\alpha=0{,}75$; якщо α тупий, то $\cos\alpha=-0{,}8$, $\operatorname{tg}\alpha=-0{,}75$.
Якщо в умові сказано, що кут гострий, бери лише знак «+» перед коренем і матимеш одну відповідь. Якщо відомий косинус, синус знаходь за формулою без знака «±», бо синус не буває від’ємним; тангенс матиме знак косинуса.
Як пов’язані синуси, косинуси й тангенси кутів α і 180° − α
Кути α і 180° − α разом дорівнюють 180°; наприклад, це кути 30° і 150°. На одиничному півколі їхні точки симетричні відносно осі y.
Точка B відповідає куту 30°, а точка B₁ — куту 150°. Вони лежать на висоті $\frac12$, а їхні абсциси $\frac{\sqrt3}{2}$ і $-\frac{\sqrt3}{2}$ — протилежні числа.
Трикутники з гіпотенузами OB і OB₁ рівні: обидві гіпотенузи дорівнюють 1, а кути при O — 30°. Тому точки B і B₁ мають однакові ординати, а їхні абсциси протилежні. Звідси sin 150° = sin 30° = $\frac12$, а cos 150° = −cos 30° = $-\frac{\sqrt3}{2}$. Так само для будь-якого кута α: трикутники для кутів α і 180° − α рівні за гіпотенузою і гострим кутом, тому ординати їхніх точок рівні, а абсциси протилежні.
Синуси кутів α й 180° − α рівні, а їхні косинуси й тангенси — протилежні числа.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$
$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$
$\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$
Для тангенса маємо:
$\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=\frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\operatorname{tg}\alpha$.
Чисельник не змінився, а знаменник змінив знак, тому тангенс теж змінив знак. Ці формули виражають синус, косинус і тангенс тупого кута через синус, косинус і тангенс гострого.
Кути α і 90° − α разом дорівнюють 90°, як два гострі кути прямокутного трикутника. Тут α — гострий кут, тож кут 90° − α теж гострий. Синус будь-якого з цих кутів дорівнює косинусу другого, бо протилежний катет для одного є прилеглим для другого.
Синус кута 90° − α дорівнює косинусу кута α, а косинус кута 90° − α дорівнює синусу кута α.
$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$
$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$
Приклад 3. Спрости вираз.
Розв'язання.
| $1+\sin(90^\circ-\alpha)\cdot$ | |
| $\cdot\cos(180^\circ-\alpha)=$ | |
| $=1+\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)=$ | |
| $=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$. |
- 1)За формулами в рамках вище замінимо $\sin(90^\circ-\alpha)$ на $\cos\alpha$, а $\cos(180^\circ-\alpha)$ — на $-\cos\alpha$.
- 2)Добуток $\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)$ дорівнює $-\cos^2\alpha$. За основною тотожністю $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$.
Відповідь: $\sin^2\alpha$.
Щоб довести тотожність, перетворюй одну її частину, доки не отримаєш іншу. На кожному кроці застосовуй формулу з цього параграфа.
Синус, косинус і тангенс табличних кутів
Значення синуса, косинуса й тангенса кутів 30°, 45° і 60° ти знаєш із 8 класу. Щоб знайти значення для тупих кутів 120°, 135° і 150°, запиши кожен як 180° мінус гострий кут і застосуй формули вище. Кути 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° і 180° називають табличними.
| $\cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=$ | |
| $=-\cos60^\circ=-\frac12$. |
| α | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\operatorname{tg}\alpha$ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\sqrt3$ |
| 90° | 1 | 0 | не існує |
| 120° | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $-\frac12$ | $-\sqrt3$ |
| 135° | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $-\frac{\sqrt2}{2}$ | −1 |
| 150° | $\frac12$ | $-\frac{\sqrt3}{2}$ | $-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}$ |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
У рядках для 120°, 135° і 150° синуси дорівнюють синусам кутів 60°, 45° і 30°. Косинуси й тангенси мають ті самі значення з мінусом, бо кожен тупий кут дорівнює 180° мінус відповідний гострий.
Приклад 4. Обчисли значення виразу.
| $\sin135^\circ\cdot\cos135^\circ+$ | |
| $+\operatorname{tg}150^\circ\cdot\operatorname{tg}120^\circ$ |
Розв'язання.
| $\sin135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=$ | |
| $=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$; | |
| $\cos135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)=$ | |
| $=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$; | |
| $\operatorname{tg}150^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ-30^\circ)=$ | |
| $=-\operatorname{tg}30^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}$; | |
| $\operatorname{tg}120^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ-60^\circ)=$ | |
| $=-\operatorname{tg}60^\circ=-\sqrt3$. |
| $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cdot\left(-\sqrt3\right)=$ | |
| $=-\frac{2}{4}+\frac{3}{3}=-\frac12+1=\frac12$. |
- 1)Кожен тупий кут записали як 180° мінус гострий: 135° = 180° − 45°, 150° = 180° − 30°, 120° = 180° − 60°. Синус не змінює знак, а косинус і тангенс стають від’ємними.
- 2)Підставимо знайдені значення у вираз. Оскільки $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ і $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$, а добуток двох від’ємних чисел додатний, другий доданок дорівнює 1.
Відповідь: $\frac12$.
Приклад 5. Обчисли без калькулятора $\cos^2 25^\circ+\cos^2 65^\circ$.
Розв'язання.
| $\cos65^\circ=\cos(90^\circ-25^\circ)=\sin25^\circ$; | |
| $\cos^2 25^\circ+\cos^2 65^\circ=$ | |
| $=\cos^2 25^\circ+\sin^2 25^\circ=1$. |
Кути 25° і 65° разом дорівнюють 90°, тому косинус 65° дорівнює синусу 25°. Після заміни вираз стає основною тотожністю для кута 25° і дорівнює 1, тож калькулятор не потрібен.
Відповідь: 1.
Кути 42° і 138° разом дорівнюють 180°, тому:
$\sin42^\circ-\sin138^\circ=0$.
Сума косинусів двох кутів, що разом дають 180°, теж дорівнює 0, бо косинуси таких кутів — протилежні числа. Тому сума косинусів усіх кутів трапеції дорівнює 0: кути, прилеглі до кожної бічної сторони, разом дають 180°.
Як змінюються синус і косинус зі збільшенням кута
Коли кут зростає від 0° до 90°, синус зростає від 0 до 1, а косинус спадає від 1 до 0. Від 90° до 180° синус спадає від 1 до 0, а косинус — від 0 до −1.
Коли кут зростає, точка рухається півколом від A(1; 0) до N(−1; 0) проти годинникової стрілки. До 90° точка підіймається, а потім опускається, тому змінюється її ордината — синус. Точка весь час рухається ліворуч, тому її абсциса — косинус — зменшується.
Приклад 6. Запиши в порядку зростання $\cos100^\circ$, $\cos165^\circ$, $\cos128^\circ$.
На кресленні позначено точки одиничного півкола для кутів 100°, 128° і 165°. Що більший кут, то лівіше його точка й менший косинус.
Розв'язання.
| $100^\circ\lt128^\circ\lt165^\circ$, тому | |
| $\cos165^\circ\lt\cos128^\circ\lt\cos100^\circ$. |
Усі три кути більші за 90°, і на цьому проміжку косинус спадає. Тому більшому куту відповідає менший косинус, а порядок косинусів обернений до порядку кутів; калькулятор не потрібен.
Відповідь: $\cos165^\circ$; $\cos128^\circ$; $\cos100^\circ$.
Від 90° до 180° синус спадає, тому з двох тупих кутів більший синус має менший кут. Наприклад, sin 95° більший за sin 170°.
Як знайти значення на калькуляторі для нетабличного кута
Для нетабличного кута натисни sin, cos або tg; на деяких калькуляторах тангенс позначено tan. Переконайся, що калькулятор працює в градусах: зазвичай на екрані є DEG або D. Округлюй відповідь до чотирьох знаків після коми й став знак «≈».
Приклад 7. Знайди за допомогою калькулятора $\cos143^\circ24'$.
Розв'язання.
| $24'=\left(\frac{24}{60}\right)^\circ=0{,}4^\circ$; | |
| $143^\circ24'=143{,}4^\circ$; | |
| $\cos143{,}4^\circ\approx-0{,}8028$. |
- 1)В одному градусі 60 мінут, тому $24'$ дорівнюють $\frac{24}{60}=0{,}4$ градуса. Отже, калькулятору треба ввести кут $143{,}4^\circ$.
- 2)Натисни cos і введи 143,4: калькулятор покаже −0,80281… Округли до чотирьох знаків після коми й запиши −0,8028; мінус відповідає тупому куту.
Відповідь: $\cos143^\circ24'\approx-0{,}8028$.
Щоб знайти кут за значенням, натисни sin−1, cos−1 або tg−1; деякі калькулятори мають клавішу tan−1 чи arc. Кут на екрані буде в градусах. Округли його до цілого градуса.
За косинусом калькулятор одразу показує потрібний кут від 0° до 180°; від’ємний косинус відповідає тупому куту. Наприклад, якщо cos α = −0,4, то α ≈ 114°. Якщо в умові сказано, що кут гострий, кут за синусом чи тангенсом калькулятор теж дає одразу. Для кутів від 0° до 180° є дві пастки: за синусом підходять два кути, а за від’ємним тангенсом калькулятор показує від’ємний кут. Обидві пастки розібрано в прикладах нижче.
Приклад 8. Знайди кут α, якщо $\sin\alpha=0{,}4226$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
Горизонтальна пряма на висоті 0,4226 перетинає півколо у двох точках, що відповідають кутам 25° і 155°.
Розв'язання.
| 1) | $\alpha\approx25^\circ$; |
| 2) | $\sin(180^\circ-25^\circ)=\sin25^\circ$, тобто |
| $\sin155^\circ\approx0{,}4226$. |
- 1)За синусом калькулятор показує гострий кут α ≈ 25°.
- 2)Кут 180° − 25° = 155° має такий самий синус, бо синуси кутів α і 180° − α рівні. На кресленні обидві точки мають ординату 0,4226, тому підходять два кути.
Відповідь: $\alpha\approx25^\circ$ або $\alpha\approx155^\circ$.
Приклад 9. Знайди кут α, якщо $\operatorname{tg}\alpha=-0{,}9004$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
Розв'язання.
| 1) | калькулятор: $-42^\circ$; |
| 2) | $\alpha\approx-42^\circ+180^\circ=138^\circ$; |
| 3) | $\operatorname{tg}138^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ-42^\circ)=$ |
| $=-\operatorname{tg}42^\circ\approx-0{,}9004$. |
- 1)Для від’ємного тангенса калькулятор показує кут −42°. Цього кута немає серед кутів від 0° до 180°, тому відповідь ще не знайдена.
- 2)Від’ємний тангенс буває лише в тупого кута, тому до кута з калькулятора додаємо 180°:
$-42^\circ+180^\circ=180^\circ-42^\circ=138^\circ$. У кута $180^\circ-42^\circ$ синус дорівнює $\sin42^\circ$, а косинус дорівнює $-\cos42^\circ$, тому його тангенс дорівнює $-\operatorname{tg}42^\circ$. - 3)За формулою $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$ маємо $\operatorname{tg}138^\circ=-\operatorname{tg}42^\circ\approx-0{,}9004$. Це значення збігається з числом в умові.
Відповідь: $\alpha\approx138^\circ$.
Як побудувати кут за синусом, косинусом чи тангенсом
Замість одиничного півкола накресли півколо радіуса в кілька клітинок і вважай цей радіус одиницею. Косинус дорівнює абсцисі точки, поділеній на радіус, а синус — її ординаті, поділеній на радіус. Знаменник дробу підказує кількість клітинок для радіуса.
Приклад 10. Побудуй кут α, якщо $\cos\alpha=-\frac{2}{5}$.
Півколо має центр O, радіус 5 клітинок і точку A(5; 0). Перпендикуляр з K(−2; 0) до осі x перетинає півколо в B, а кут AOB дорівнює шуканому куту α.
Розв'язання.
- 1)Накресли осі координат і над віссю x — півколо з центром O(0; 0) та радіусом 5 клітинок: знаменник дробу дорівнює 5. Познач точку A(5; 0).
- 2)Косинус від’ємний, тому відклади від O 2 клітинки ліворуч і познач K(−2; 0).
- 3)Із точки K проведи перпендикуляр до осі x до перетину з півколом. Точку перетину познач B.
- 4)Шуканий кут — AOB. Радіус OB дорівнює 5 клітинкам, а абсциса точки B — −2 клітинкам, тому косинус цього кута дорівнює $-\frac{2}{5}$.
Відповідь: ∠AOB — шуканий кут α. Він тупий, бо косинус від’ємний; $-\frac25=-0{,}4$, тож за калькулятором α ≈ 114°.
Якщо задано синус $\frac45$, накресли півколо радіуса 5 клітинок і проведи горизонталь на висоті 4 клітинки. Вона перетне півколо у двох точках, тому можливі гострий і тупий кути. Для кута від 0° до 180° точка лежить над віссю x, тому її ордината додатна. Якщо задано тангенс $-\frac23$, познач точку з абсцисою −3 та ординатою 2 і проведи промінь із O через неї: тангенс дорівнює ординаті, поділеній на абсцису. Для побудови гострого кута розмісти точку праворуч від осі y й над віссю x, тобто в першій чверті.
Як перевірити себе
- Перевір знаки за точкою на півколі: у тупого кута ордината додатна, а абсциса від’ємна. Тому синус додатний, а косинус і тангенс від’ємні.
- Знайшовши синус і косинус кута, перевір, чи сума їхніх квадратів дорівнює 1: це випливає з основної тотожності.
Наприклад, якщо $\sin\alpha=0{,}8$ і $\cos\alpha=-0{,}6$, то $0{,}8^2+(-0{,}6)^2=0{,}64+0{,}36=1$. - Перевір кут із калькулятора оберненою дією: обчисли його синус, косинус чи тангенс. Має вийти значення, задане в умові.
- Якщо шукав кут за синусом, перевір також кут 180° мінус знайдений: синуси цих кутів рівні. Виняток — синус 1, якому відповідає лише кут 90°.
Де найчастіше помиляються
1. Загубили мінус у косинусі тупого кута
Завдання: обчислити $\cos150^\circ$.
Неправильно
| $\cos150^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$. |
Правильно
| $\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=$ | |
| $=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$. |
Що сталося: Формулу для синуса кутів α і 180° − α помилково застосували до косинуса. Косинус при такій заміні змінює знак.
Як помітити: Кут 150° тупий, тому його косинус від’ємний. Додатна відповідь показує, що мінус загубився.
2. Знайшли косинус за синусом лише зі знаком «+»
Завдання: знайти $\cos\alpha$, якщо $\sin\alpha=\frac{12}{13}$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
Неправильно
| $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$. |
Правильно
| $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\pm\frac{5}{13}$; | |
| $\frac{5}{13}$, якщо α гострий; | |
| $-\frac{5}{13}$, якщо α тупий. |
Що сталося: Той самий синус має гострий і тупий кути, а косинус тупого кута від’ємний. Тому один із двох випадків пропустили.
Як помітити: Якщо кут не названо гострим, за заданим синусом запиши обидва можливі значення косинуса.
3. Записали лише кут, який показав калькулятор за синусом
Завдання: знайти кут α, якщо $\sin\alpha=0{,}5592$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
Неправильно
| $\alpha\approx34^\circ$. |
Правильно
| $\alpha\approx34^\circ$ або | |
| $\alpha\approx180^\circ-34^\circ=146^\circ$. |
Що сталося: За синусом калькулятор показує лише гострий кут, але тупий кут 146° має той самий синус. Отже, другий кут пропустили.
Як помітити: Знайшовши кут за синусом, перевір і кут 180° мінус знайдений: його синус такий самий. Обидва кути підходять, якщо перший не дорівнює 90°.
4. Записали від’ємний кут, який показав калькулятор
Завдання: знайти кут α, якщо $\operatorname{tg}\alpha=-2{,}7475$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
Неправильно
| $\alpha\approx-70^\circ$. |
Правильно
| $\alpha\approx-70^\circ+180^\circ=110^\circ$. |
Що сталося: Калькулятор показав −70°, але такого кута немає серед кутів від 0° до 180°. Тангенс тупого кута менший за нуль, тому додаємо 180°: $-70^\circ+180^\circ=110^\circ$.
Як помітити: Відповідь має бути від 0° до 180°, а кут із від’ємним тангенсом має бути тупим.
Спробуй сам
- Точка $P\left(-\frac{8}{17};\,\frac{15}{17}\right)$ лежить на одиничному півколі. Знайди синус, косинус і тангенс кута α між променями OA і OP, де A(1; 0).
- Чи існує кут α, де $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$, для якого: 1) $\sin\alpha=-0{,}3$; 2) $\cos\alpha=-0{,}3$?
- Яка рівність правильна: $\cos160^\circ=\cos20^\circ$ чи $\cos160^\circ=-\cos20^\circ$?
- Знайди $\sin\alpha$ і $\operatorname{tg}\alpha$, якщо $\cos\alpha=-\frac{5}{13}$.
- Обчисли $2\sin150^\circ-\operatorname{tg}135^\circ\cdot\cos120^\circ$.
- Доведи, що сума виразів $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$ і $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$ дорівнює 2 для будь-якого кута α.
- Знайди суму косинусів усіх кутів паралелограма.
- Обчисли $\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ$.
- Запиши в порядку спадання: $\sin132^\circ$, $\sin95^\circ$, $\sin170^\circ$.
- Знайди $\sin156^\circ42'$ за допомогою калькулятора.
- Знайди кут α, якщо $\sin\alpha=0{,}8090$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
- Знайди кут α, якщо $\operatorname{tg}\alpha=-0{,}3640$ і $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$.
- Побудуй кут α, якщо $\cos\alpha=-\frac{3}{4}$.
Перевірити відповіді
- $\sin\alpha=\frac{15}{17}$, $\cos\alpha=-\frac{8}{17}$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{15}{8}$.
- 1) Ні; 2) так, кут тупий.
- $\cos160^\circ=-\cos20^\circ$.
- $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{12}{5}$.
- $\frac12$.
- Повне доведення — нижче.
- 0.
- 1.
- $\sin95^\circ$; $\sin132^\circ$; $\sin170^\circ$.
- $\sin156^\circ42'\approx0{,}3955$.
- $\alpha\approx54^\circ$ або $\alpha\approx126^\circ$.
- $\alpha\approx160^\circ$.
- Повна побудова — нижче.
Повне доведення завдання 6
| $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+$ | |
| $+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=$ | |
| $=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+$ | |
| $+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=$ | |
| $=2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=2\cdot1=2$. |
Розкриємо дужки за формулами квадрата суми й квадрата різниці. Доданки $2\sin\alpha\cos\alpha$ і $-2\sin\alpha\cos\alpha$ взаємно знищуються, а решта дорівнює $2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$. За основною тотожністю вираз у дужках дорівнює 1, тому ліва частина дорівнює 2, що й треба було довести.
Повна побудова завдання 13
Знаменник дробу дорівнює 4, тому накресли півколо з центром O(0; 0) і радіусом 4 клітинки та познач A(4; 0). Косинус від’ємний, тому відклади від O 3 клітинки ліворуч і познач K(−3; 0). Перпендикуляр до осі x із K перетне півколо в B; кут AOB шуканий, бо абсциса B дорівнює −3 клітинкам, а радіус OB — 4 клітинкам, тож косинус дорівнює $-\frac34$.
Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти загубив мінус у косинусі чи тангенсі тупого кута або не записав другий кут, знайдений за синусом.
Для батьків
Попросіть дитину намалювати одиничне півколо й показати точку для тупого кута, наприклад 150°. Нехай дитина пояснить, чому косинус від’ємний: точка лежить ліворуч від осі y, тому її абсциса від’ємна.
Коли дитина шукає кут за синусом, запитайте, чи є інший кут із таким самим синусом. Правильна відповідь — кут 180° мінус знайдений, бо синуси кутів α і 180° − α рівні.