Доведіть тотожність $\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}-\frac{x^2+1}{1-x^2}\right)\cdot$
$\cdot\frac{x-1}{x^2+2x+1}=\frac{1}{x+1}.$
Розв'язок:
1) $\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{x^2+1}{x^2-1}=$
$= \frac{x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)+x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=$
$=\frac{x^2+x-x^2+x+x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+2x+1}{(x-1)(x+1)}=$
$= \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x-1};$
2) $\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x^2+2x+1}=$
$= \frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x+1};$
3) $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}.$
Що і треба було довести.