Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
1) $\left(4^{-3}\right)^7\cdot\left(\left(\left(4^{-2}\right)^3\right)\right)^{-4};$
2) $\frac{{10}^{-5}\cdot\left({10}^{-7}\right)^4}{\left({10}^{-11}\right)^3};$
3) $4^{-5}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-8};$
4) ${243}^{-2}\cdot\left(3^{-7}\right)^{-2};$
5) $\frac{(-5)^{-4}\cdot{25}^{-2}}{(-125)^{-3}};$
6) $0{,}{01}^{-3}\cdot{10}^{-8}.$
Розв'язок:
1) $ (4^{-3})^7\cdot(((4^{-2})^3))^{-4}=$
$= 4^{-3\cdot7}\cdot(4^{-2\cdot3})^{-4}=$
$= 4^{-21}\cdot(4^{-6})^{-4} =$
$= 4^{-21}\cdot4^{-6\cdot(-4)}=4^{-21}\cdot4^{24}=$
$= 4^{-21+24}=4^3=64;$
2) $\frac{{10}^{-5}\cdot({10}^{-7})^4}{({10}^{-11})^3}=\frac{{10}^{-5}\cdot{10}^{-7\cdot4}}{{10}^{-11\cdot3}}=$
$= \frac{{10}^{-5}\cdot{10}^{-28}}{{10}^{-33}}=\frac{{10}^{-5+\left(-28\right)}}{{10}^{-33}}=$
$= \frac{{10}^{-33}}{{10}^{-33}}=1;$
3) $4^{-5}\cdot(\frac{1}{2})^{-8}=(2^2)^{-5}\cdot(2^{-1})^{-8}=$
$= 2^{2\cdot\left(-5\right)}\cdot2^{-1\cdot\left(-8\right)}=2^{-10}\cdot2^8=$
$= 2^{-10+8}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=$
$= \frac{1}{4}=0{,}25;$
4) ${243}^{-2}\cdot(3^{-7})^{-2}=$
$= (3^5)^{-2}\cdot3^{-7\cdot\left(-2\right)}=$
$= 3^{5\cdot\left(-2\right)}\cdot3^{14}=3^{-10}\cdot3^{14}=$
$= 3^{-10+14}=3^4=81;$
5) $\frac{(-5)^{-4}\cdot{25}^{-2}}{(-125)^{-3}}=\frac{5^{-4}\cdot(5^2)^{-2}}{(-(5^3))^{-3}}=$
$= \frac{5^{-4}\cdot5^{-4}}{-5^{-9}}= \frac{5^{-8}}{-5^{-9}}=$
$= -5^{-8-\left(-9\right)}= -5^1=-5;$
6) $0{,}{01}^{-3}\cdot{10}^{-8}= ({10}^{-2})^{-3}\cdot{10}^{-8}=$
$= {10}^{-2\cdot\left(-3\right)}\cdot{10}^{-8}=$
$= {10}^6\cdot{10}^{-8}={10}^{6-8}=$
$= {10}^{-2}=0{,}01.$