Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
1) $\left(5^{-2}\right)^5\cdot\left(\left(5^{-1}\right)^{-3}\right)^3;$
2) $\frac{7^{-4}\cdot\left(7^{-2}\right)^5}{\left(7^3\right)^{-5}};$
3) $\left(\frac{1}{6}\right)^{-7}\cdot{36}^{-4};$
4) ${16}^{-5}\cdot\left(2^{-3}\right)^{-7};$
5) $\frac{(-3)^{-5}\cdot{27}^{-3}}{(-9)^{-6}};$
6) $0{,}2^{-8}\cdot{25}^{-4}.$
Розв'язок:
1) $(5^{-2})^5\cdot((5^{-1})^{-3})^3=$
$= 5^{-2\cdot5}\cdot(5^{-1\cdot\left(-3\right)})^3=$
$= 5^{-10}\cdot(5^3)^3=5^{-10}\cdot5^9=$
$=5^{-10+9}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0{,}2;$
2) $\frac{7^{-4}\cdot(7^{-2})^5}{(7^3)^{-5}}=\frac{7^{-4}\cdot7^{-10}}{7^{-15}}=\frac{7^{-14}}{7^{-15}}=$
$= 7^{-14-(-15)}=7^1=7;$
3) $(\frac{1}{6})^{-7}\cdot{36}^{-4}=(6^{-1})^{-7}\cdot(6^2)^{-4}=$
$= 6^7\cdot6^{-8}=6^{7-8}=6^{-1}=\frac{1}{6};$
4) ${16}^{-5}\cdot(2^{-3})^{-7}=(2^4)^{-5}\cdot2^{21}=$
$= 2^{-20}\cdot2^{21}=2^{-20+21}=2^1=2;$
5) $\frac{(-3)^{-5}\cdot{27}^{-3}}{(-9)^{-6}}=\frac{-3^{-5}\cdot(3^3)^{-3}}{(3^2)^{-6}}=$
$= \frac{-3^{-5}\cdot3^{-9}}{3^{-12}}= \frac{-3^{-14}}{3^{-12}}=$
$= -3^{-14-\left(-12\right)}=-3^{-2}=$
$= -\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9};$
6) $0,2^{-8}\cdot{25}^{-4}=(5^{-1})^{-8}\cdot(5^2)^{-4}=$
$= 5^8\cdot5^{-8}=5^{8-8}=5^0=1.$