№ 29 Алгебра = № 29 Математика
1) Знайдіть цілі корені рівняння $\frac{8}{|x|}=6-x,$ використовуючи графічний спосіб розв'язування.
2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його нецілий корінь.
Розв'язок:
1) $\text{ Побудуємо графіки функцій }y=\frac{8}{|x|}\text{ та }$
$y=6-x.$
$\text{Для }y=\frac{8}{|x|}:\text{ якщо }x>0,y=\frac{8}{x};\text{ }$
$\text{якщо }x<0,y=-\frac{8}{x}.$
Таблиця значень для $y=\frac{8}{|x|}$:
| $x$ | $-8$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
Таблиця значень для $y=6-x$:
| $x$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $8$ | $6$ | $4$ | $2$ | $0$ |
Графіки перетинаються в трьох точках.
Дві з них мають цілі абсциси:
$x_{1}=2$ і $x_{2}=4$.
Перевірка: $\frac{8}{|2|}=6-2=4$;
$\frac{8}{|4|}=6-4=2$.
Абсциса третьої точки не є цілим числом.
Цілі корені рівняння: $2$; $4$.
2) Розв’яжемо рівняння аналітично.
Якщо $x>0$, то $|x|=x$:
$\frac{8}{x}=6-x;$
$8=6x-x^{2};$
$x^{2}-6x+8=0;$
$D=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot8=36-32=4;$
$x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2};$
$x_{1}=2,\ x_{2}=4.$
Обидва корені додатні.
Якщо $x<0$, то $|x|=-x$:
$\frac{8}{-x}=6-x;$
$-8=x(6-x);$
$-8=6x-x^{2};$
$x^{2}-6x-8=0;$
$D=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=36+32=68;$
$x=\frac{6\pm\sqrt{68}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{17}}{2}=3\pm\sqrt{17}.$
$\text{Оскільки }x<0,\text{ то }x=3-\sqrt{17}.$
$3-\sqrt{17}\approx3-4{,}12=-1{,}12$ — нецілий корінь.
Корені рівняння: $2$; $4$; $3-\sqrt{17}$.
Відповідь:
1) $2$; $4$; 2) $3-\sqrt{17}$.