Корені x1 і x2 рівняння x2 + px - 6 = 0 задовольняють умову 2x1 + 3x2 = 0. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт p.
Розв'язок:
$\left\{\begin{matrix}x_1\cdot x_2=-6\\2x_1+3x_2=0\\\end{matrix}\right.$
$2x_1=-3x_2$
$x_1=-1,5x_2$
$-1,5x_2\cdot x_2=-6$
$-1,5x_2^2=-6$
$x_2^2=4$
Якщо $x_2=2,$ то $x1=-1,5⋅2=-3$
Якщо $x_2=-2,$ то $x1=-1,5⋅(-2)=3$
За теоремою Вієта $x_1+x_2=-p:$
1) $x_1=-3;\;x_2=2\Rightarrow-3+2=$
$= -1\Rightarrow p=1$
Перевірка p: $x_1⋅x_2=-3⋅2=-6$ (вірно)
2) $x_1=3;\;x_2=-2\Rightarrow3+(-2)=$
$= 1\Rightarrow p=-1$
Перевірка p: $x_1⋅x_2=3⋅(-2)=-6$ (вірно)
Відповідь:
$x_1=-3;\;x_2=2;\;p=1\;$ або $x_1=3; x_2=-2; p=-1$