№ 87 Алгебра = № 87 Математика
Розв'яжіть рівняння:
1) $(2x-1)\left(4x^2+2x+1\right)=$
$= 2x(2x-1)(2x+1)+x^2-3;$
2) $(\sqrt x-3)\left(x^2+2x-3\right)=0;$
3) $x|x|-3x-4=0.$
Розв'язок:
1) $\ (2x-1)\left( 4x^{2}+2x+1 \right)=$
$=2x(2x-1)(2x+1)+x^{2}-3$
$8x^{3}-1=2x\left( 4x^{2}-1 \right)+x^{2}-3$
$8x^{3}-1=8x^{3}-2x+x^{2}-3$
$-x^{2}+2x+2=0$
$x^{2}-2x-2=0$
$D=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12$
$x_{1}=\frac{2+\sqrt{12}}{2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$
$x_{2}=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$
2) $\ \left( \sqrt{x}-3 \right)\left( x^{2}+2x-3 \right)=0$
$\sqrt{x}-3=0\ або\ x^{2}+2x-3=0$
$\sqrt{x}=3 \Rightarrow x_{1}=9$
$x^{2}+2x-3=0$
$D=2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=16$
$x=\frac{-2\pm4}{2} \Rightarrow x_{2}=1;\ x_{3}=-3$
Вираз $\sqrt{-3}$ не має змісту,
тому $x_{3}=-3$ не є коренем.
$x_{1}=9;\ x_{2}=1$
3) $\ x|x|-3x-4=0$
Якщо $x\geq0$, то $|x|=x$:
$x^{2}-3x-4=0$
$D=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=25$
$x_{1}=\frac{3+5}{2}=4;$
$x_{2}=\frac{3-5}{2}=-1\text{ }\left( \text{не задовольняє умову} \right)$
Якщо $x<0$, то $|x|=-x$:
$-x^{2}-3x-4=0$
$x^{2}+3x+4=0$
$D=3^{2}-4\cdot1\cdot4=-7<0 \Rightarrow \text{коренів немає}$
$x=4$
Відповідь:
1) $1\pm\sqrt{3}$; 2) $9$; $1$; 3) $4$.