№ 1.14 Алгебра = № 6.14 Математика
Доведіть нерівність:
1) $x^{2}+y^{2}\geq-2xy$;
2) $p(p-6)\geq-9$;
3) $a(a+b)\geq ab$;
4) $m^{2}+5m+4\geq m$.
Розв’язок:
1) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$x^{2}+y^{2}+2xy=$
$=(x+y)^{2}\geq0,$
отже, $x^{2}+y^{2}\geq-2xy$, що й треба було довести.
2) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$p(p-6)+9=$
$=p^{2}-6p+9=$
$=(p-3)^{2}\geq0,$
отже, $p(p-6)\geq-9$, що й треба було довести.
3) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$a(a+b)-ab=$
$=a^{2}+ab-ab=a^{2}\geq0,$
отже, $a(a+b)\geq ab$, що й треба було довести.
4) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$m^{2}+5m+4-m=$
$=m^{2}+4m+4=$
$=(m+2)^{2}\geq0,$
отже, $m^{2}+5m+4\geq m$, що й треба було довести.