№ 1.15 Алгебра = № 6.15 Математика
Доведіть нерівність:
1) $m^{2}+n^{2}\geq2mn$;
2) $t(t+2)\geq-1$;
3) $c(c-d)\geq-cd$;
4) $p^{2}-11p+36\geq p$.
Розв’язок:
1) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$m^{2}+n^{2}-2mn=$
$=m^{2}-2mn+n^{2}=$
$=(m-n)^{2}\geq0$, отже, $m^{2}+n^{2}\geq2mn$, що й треба було довести.
2) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$t(t+2)+1=t^{2}+2t+1=$
$=(t+1)^{2}\geq0$, отже, $t(t+2)\geq-1$, що й треба було довести.
3) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$c(c-d)+cd=c^{2}-cd+cd=$
$=c^{2}\geq0$, отже, $c(c-d)\geq-cd$, що й треба було довести.
4) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:
$p^{2}-11p+36-p=$
$=p^{2}-12p+36=$
$=(p-6)^{2}\geq0$, отже, $p^{2}-11p+36\geq p$, що й треба було довести.