№ 1.16 Алгебра = № 6.16 Математика
Порівняйте числа:
1) $\sqrt{5}-2$ і $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$;
2) $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ і $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.
Розв’язок:
1) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{1\cdot(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=$
$=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$
Знайдемо різницю чисел $\sqrt{5}-2$ та $\sqrt{5}-2$:
$\sqrt{5}-2-(\sqrt{5}-2)=0$, отже, $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.
2) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{1\cdot(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}=$
$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$
Знайдемо різницю чисел:
$\sqrt{7}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})-(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=$
$=\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}>0$, отже, $\sqrt{7}+\sqrt{3}>\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.
Відповідь:
1) $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$;
2) $\sqrt{7}+\sqrt{3}>\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$.