№ 1.17 Алгебра = № 6.17 Математика
Порівняйте числа:
1) $\sqrt{3}-1$ і $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$;
2) $4+\sqrt{15}$ і $\frac{1}{4-\sqrt{15}}$.
Розв’язок:
1) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Знайдемо різницю чисел $\sqrt{3}-1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$, отже, $\sqrt{3}-1>\frac{1}{\sqrt{3}+1}$.
2) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{1}{4-\sqrt{15}}=\frac{1\cdot(4+\sqrt{15})}{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}=$
$=\frac{4+\sqrt{15}}{16-15}=4+\sqrt{15}$
Знайдемо різницю чисел $4+\sqrt{15}-(4+\sqrt{15})=0$, отже, $4+\sqrt{15}=\frac{1}{4-\sqrt{15}}$.
Відповідь:
1) $\sqrt{3}-1>\frac{1}{\sqrt{3}+1}$;
2) $4+\sqrt{15}=\frac{1}{4-\sqrt{15}}$.