№ 1.20 Алгебра = № 6.20 Математика
Нехай $x$ — довільне число. Порівняйте з нулем значення виразу:
1) $x^{2}+5$;
2) $-(x-1)^{2}-3$;
3) $(x-7)^{2}$;
4) $-(x+9)^{2}$;
5) $9+(x-1)^{2}$;
6) $(x-1)^{2}+(x-2)^{2}$.
Розв’язок:
1) Оскільки $x^{2}\geq0$ для будь-якого $x$, то $x^{2}+5\geq5$. Отже, $x^{2}+5>0$.
2) Оскільки $(x-1)^{2}\geq0$, то $-(x-1)^{2}\leq0$, а $-(x-1)^{2}-3\leq-3$. Отже, $-(x-1)^{2}-3<0$.
3) Квадрат будь-якого дійсного числа невід’ємний: $(x-7)^{2}\geq0$.
4) Оскільки $(x+9)^{2}\geq0$, то при множенні на $-1$ знак нерівності змінюється: $-(x+9)^{2}\leq0$.
5) Оскільки $(x-1)^{2}\geq0$, то $9+(x-1)^{2}\geq9$. Отже, $9+(x-1)^{2}>0$.
6) Сума квадратів двох виразів завжди невід’ємна: $(x-1)^{2}\geq0$ та $(x-2)^{2}\geq0$. Сума дорівнює нулю лише тоді, коли обидва вирази одночасно дорівнюють нулю ($x=1$ та $x=2$), що неможливо. Тому $(x-1)^{2}+(x-2)^{2}>0$.