№ 1.21 Алгебра = № 6.21 Математика
Доведіть, що:
1) $x^{3}-3x^{2}+x-3\geq0$, якщо $x\geq3$;
2) $\frac{3}{a+3}>\frac{1}{a+1}$, якщо $a$ — додатне число.
Розв’язок:
1) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$x^{3}-3x^{2}+x-3=$
$=x^{2}(x-3)+(x-3)=$
$=(x-3)(x^{2}+1).$
$x^{2}+1>0$ для будь-яких значень $x$.
$x-3\geq0$, якщо $x\geq3$.
Отже, $x^{3}-3x^{2}+x-3\geq0$, якщо $x\geq3$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{3}{a+3}-\frac{1}{a+1}=\frac{3(a+1)-1(a+3)}{(a+3)(a+1)}=$
$=\frac{3a+3-a-3}{(a+3)(a+1)}=\frac{2a}{(a+3)(a+1)}.$
Якщо $a$ — додатне число, то $2a>0$, $(a+3)>0$, $(a+1)>0$.
Отже, $\frac{2a}{(a+3)(a+1)}>0$ і справджується нерівність $\frac{3}{a+3}>\frac{1}{a+1}$, що й треба було довести.