№ 1.22 Алгебра = № 6.22 Математика
Доведіть, що:
1) $m^{3}+m^{2}+5m+5\geq0$, якщо $m\geq-1$;
2) $\frac{p}{p+7}<\frac{p+1}{p+8}$, якщо $p$ — додатне число.
Розв’язок:
1) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$m^{3}+m^{2}+5m+5=$
$=m^{2}(m+1)+5(m+1)=$
$=(m^{2}+5)(m+1)$
$m^{2}+5>0$ для будь-яких значень $m$.
$m+1\geq0$, якщо $m\geq-1$.
Отже, $m^{3}+m^{2}+5m+5\geq0$, якщо $m\geq-1$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{p}{p+7}-\frac{p+1}{p+8}=\frac{p(p+8)-(p+7)(p+1)}{(p+7)(p+8)}=$
$=\frac{p^{2}+8p-(p^{2}+p+7p+7)}{(p+7)(p+8)}=$
$=\frac{p^{2}+8p-p^{2}-8p-7}{(p+7)(p+8)}=\frac{-7}{(p+7)(p+8)}$
Якщо $p$ — додатне число, то $p+7>0$, $p+8>0$.
Отже, $\frac{-7}{(p+7)(p+8)}<0$ і справджується нерівність $\frac{p}{p+7}<\frac{p+1}{p+8}$, що й треба було довести.