№ 1.23 Алгебра = № 6.23 Математика
Доведіть нерівність:
1) $m^{2}+4m+p^{2}+2p+5\geq0$;
2) $a^{2}+b^{2}\geq4(a+b)-8$;
3) $m^{2}+n^{2}+1\geq m+n+mn$;
4) $a^{2}+b^{2}+c^{2}>2(a+b+c)-4$.
Розв’язок:
1) У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квадрати двочленів:
$m^{2}+4m+p^{2}+2p+5=$
$=\left( m^{2}+4m+4 \right)+\left( p^{2}+2p+1 \right)=$
$=(m+2)^{2}+(p+1)^{2}.$
Для будь-яких значень $m$ і $p$: $(m+2)^{2}\geq0$ і $(p+1)^{2}\geq0$, тому $(m+2)^{2}+(p+1)^{2}\geq0$.
Отже, $m^{2}+4m+p^{2}+2p+5\geq0$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$a^{2}+b^{2}-4(a+b)+8=$
$=a^{2}+b^{2}-4a-4b+8.$
Виділимо в цьому виразі квадрати двочленів:
$\left( a^{2}-4a+4 \right)+\left( b^{2}-4b+4 \right)=$
$=(a-2)^{2}+(b-2)^{2}.$
Для будь-яких значень $a$ і $b$: $(a-2)^{2}\geq0$ і $(b-2)^{2}\geq0$, тому $(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq0$, тобто $a^{2}+b^{2}-4(a+b)+8\geq0$.
Отже, $a^{2}+b^{2}\geq4(a+b)-8$, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$m^{2}+n^{2}+1-(m+n+mn)=$
$=\frac{1}{2}\left( 2m^{2}+2n^{2}+2-2n-2m-2mn \right)=$
$=\frac{1}{2}\left( \left( m^{2}-2mn+n^{2} \right)+\left( m^{2}-2m+1 \right)+\left( n^{2}-2n+1 \right) \right)=$
$=\frac{1}{2}\left( (m-n)^{2}+(m-1)^{2}+(n-1)^{2} \right)\geq0$
для всіх значень $m$ і $n$.
Отже, $m^{2}+n^{2}+1\geq m+n+mn$.
4) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)+4=$
$=\left( a^{2}-2a+1 \right)+\left( b^{2}-2b+1 \right)+\left( c^{2}-2c+1 \right)+1=$
$=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}+1.$
Оскільки $(a-1)^{2}\geq0$, $(b-1)^{2}\geq0$, $(c-1)^{2}\geq0$, то
$(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}+1>0$, отже,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}>2(a+b+c)-4$, що й треба було довести.