№ 1.24 Алгебра = № 6.24 Математика
Для кожного додатного значення $a$ доведіть, що:
1) $a^{3}+2a^{2}+a>0$;
2) $a^{3}+1\geq a^{2}+a$;
3) $(a+1)^{3}\leq4(a^{3}+1)$;
4) $a^{6}-a^{5}+a^{4}>0$.
Розв’язок:
1) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$a^{3}+2a^{2}+a=a(a^{2}+2a+1)=$
$=a(a+1)^{2}$.
$(a+1)^{2}\geq0$, $a>0$ за умовою, отже, $a^{3}+2a^{2}+a>0$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:
$a^{3}+1-(a^{2}+a)=$
$=(a+1)(a^{2}-a+1)-a(a+1)=$
$=(a+1)(a^{2}-a+1-a)=$
$=(a+1)(a-1)^{2}$.
$(a-1)^{2}\geq0$, $a+1>0$, оскільки $a$ — додатне.
Отже, $a^{3}+1\geq a^{2}+a$, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$(a+1)^{3}-4(a^{3}+1)=$
$=a^{3}+3a^{2}+3a+1-4(a^{3}+1)=$
$=(a^{3}+1)+3a(a+1)-4(a^{3}+1)=$
$=-3(a^{3}+1)+3a(a+1)=$
$=-3(a+1)(a^{2}-a+1)+3a(a+1)=$
$=-3(a+1)(a^{2}-a+1-a)=$
$=-3(a+1)(a-1)^{2}$.
$(a-1)^{2}\geq0$, $a+1>0$, оскільки $a$ — додатне.
Отже, $-3(a+1)(a-1)^{2}<0$, що й треба було довести.
4) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$a^{6}-a^{5}+a^{4}=$
$=(a^{6}-2a^{5}+a^{4})+a^{5}=$
$=(a^{3}-a^{2})^{2}+a^{5}$;
$(a^{3}-a^{2})^{2}\geq0$, якщо $a>0$,
$a^{5}>0$, отже, $(a^{3}-a^{2})^{2}+a^{5}>0$, тоді $a^{6}-a^{5}+a^{4}>0$, що й треба було довести.