№ 1.24 Алгебра = № 6.24 Математика
Для кожного додатного значення $a$ доведіть, що:
1) $a^{3}+2a^{2}+a>0$;
2) $a^{3}+1\geq a^{2}+a$;
3) $(a+1)^{3}\leq4(a^{3}+1)$;
4) $a^{6}-a^{5}+a^{4}>0$.
Розв’язок:
1) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$a^{3}+2a^{2}+a=$
$=a\left( a^{2}+2a+1 \right)=a(a+1)^{2}$.
Оскільки $a>0$, то $a+1>0$ і $(a+1)^{2}>0$, отже,
$a^{3}+2a^{2}+a=a(a+1)^{2}>0$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$a^{3}+1-\left( a^{2}+a \right)=$
$=(a+1)\left( a^{2}-a+1 \right)-a(a+1)=$
$=(a+1)\left( a^{2}-a+1-a \right)=$
$=(a+1)(a-1)^{2}$.
$(a-1)^{2}\geq0$, $a+1>0$, оскільки $a$ — додатне.
Отже, $a^{3}+1\geq a^{2}+a$, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$(a+1)^{3}-4\left( a^{3}+1 \right)=$
$=a^{3}+3a^{2}+3a+1-4\left( a^{3}+1 \right)=$
$=\left( a^{3}+1 \right)+3a(a+1)-4\left( a^{3}+1 \right)=$
$=-3\left( a^{3}+1 \right)+3a(a+1)=$
$=-3(a+1)\left( a^{2}-a+1 \right)+3a(a+1)=$
$=-3(a+1)\left( a^{2}-a+1-a \right)=$
$=-3(a+1)(a-1)^{2}$.
$(a-1)^{2}\geq0$, $a+1>0$, оскільки $a$ — додатне.
Отже, $-3(a+1)(a-1)^{2}\leq0$, тобто $(a+1)^{3}\leq4\left( a^{3}+1 \right)$, що й треба було довести.
4) Спростимо вираз у лівій частині нерівності:
$a^{6}-a^{5}+a^{4}=$
$=\left( a^{6}-2a^{5}+a^{4} \right)+a^{5}=\left( a^{3}-a^{2} \right)^{2}+a^{5}$;
$\left( a^{3}-a^{2} \right)^{2}\geq0$ для будь-якого $a$, а $a^{5}>0$, оскільки $a>0$,
отже, $\left( a^{3}-a^{2} \right)^{2}+a^{5}>0$, тоді
$a^{6}-a^{5}+a^{4}>0$, що й треба було довести.