№ 1.25 Алгебра = № 6.25 Математика
Для кожного від’ємного значення $p$ доведіть, що:
1) $p^{3}+10p^{2}+25p\leq0$;
2) $1-p^{3}>p-p^{2}$.
Розв’язок:
1) Розкладемо вираз на множники:
$p^{3}+10p^{2}+25p=$
$=p(p^{2}+10p+25)=p(p+5)^{2}$
Оскільки $(p+5)^{2}\geq0$ для будь-якого $p$, а за умовою $p<0$, то їхній добуток $p(p+5)^{2}\leq0$. Отже, $p^{3}+10p^{2}+25p\leq0$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частин нерівності:
$1-p^{3}-(p-p^{2})=$
$=(1-p)(1+p+p^{2})-p(1-p)$
Винесемо спільний множник $(1-p)$ за дужки:
$(1-p)(1+p+p^{2}-p)=$
$=(1-p)(1+p^{2})$
Оскільки $p<0$, то $1-p>0$. Також $1+p^{2}>0$ для будь-якого значення $p$.
Добуток двох додатних виразів є додатним: $(1-p)(1+p^{2})>0$.
Отже, $1-p^{3}>p-p^{2}$, що й треба було довести.