№ 1.26 Алгебра = № 6.26 Математика
Доведіть, що:
1) $\frac{7a}{2b}+\frac{8b}{7a}\geq4$, якщо $a$ і $b$ — числа одного знака;
2) $\frac{3m}{5n}+\frac{5n}{12m}\leq-1$, якщо $m$ і $n$ — числа різних знаків.
Розв’язок:
1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{7a}{2b}+\frac{8b}{7a}-4=$
$=\frac{49a^{2}+16b^{2}-56ab}{14ab}=$
$=\frac{(7a-4b)^{2}}{14ab}$
$(7a-4b)^{2}\geq0$.
Оскільки $a$ і $b$ — числа одного знака, то $14ab>0$, отже,
$\frac{(7a-4b)^{2}}{14ab}\geq0$
тоді $\frac{7a}{2b}+\frac{8b}{7a}\geq4$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{3m}{5n}+\frac{5n}{12m}-(-1)=$
$=\frac{3m}{5n}+\frac{5n}{12m}+1=$
$=\frac{36m^{2}+25n^{2}+60mn}{60mn}=$
$=\frac{(6m+5n)^{2}}{60mn}$
$(6m+5n)^{2}\geq0$. Оскільки $m$ і $n$ — числа різних знаків, то $60mn<0$, отже,
$\frac{(6m+5n)^{2}}{60mn}\leq0$
тоді $\frac{3m}{5n}+\frac{5n}{12m}\leq-1$, що й треба було довести.