№ 1.27 Алгебра = № 6.27 Математика
Доведіть, що:
1) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$, якщо $a>0,b>0$;
2) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq-2$, якщо $a<0,b>0$.
Розв’язок:
1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^{2}}{ab}$
$(a-b)^{2}\geq0$. Оскільки $a>0,b>0$, то $ab>0$, отже,
$\frac{(a-b)^{2}}{ab}\geq0$
тоді $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{ab}=\frac{(a+b)^{2}}{ab}$
$(a+b)^{2}\geq0$. Оскільки $a<0,b>0$, то $ab<0$, отже,
$\frac{(a+b)^{2}}{ab}\leq0$
тоді $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq-2$, що й треба було довести.