№ 1.28 Алгебра = № 6.28 Математика
Порівняйте значення виразів $m^{3}+n^{3}$ і $mn(m+n)$, якщо $m$ і $n$ — додатні числа, $m\neq n$.
Розв’язок:
Розглянемо різницю виразів $m^{3}+n^{3}$ і $mn(m+n)$:
$m^{3}+n^{3}-mn(m+n)=$
$=(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})-mn(m+n)=$
$=(m+n)(m^{2}-mn+n^{2}-mn)=$
$=(m+n)(m^{2}-2mn+n^{2})=$
$=(m+n)(m-n)^{2}$
Оскільки $(m-n)^{2}\geq0$ для будь-яких $m,n$, а за умовою $m\neq n$, то $(m-n)^{2}>0$.
Оскільки $m$ і $n$ — додатні числа, то $m+n>0$.
Отже, добуток $(m+n)(m-n)^{2}>0$.
Маємо: $m^{3}+n^{3}-mn(m+n)>0$, звідси $m^{3}+n^{3}>mn(m+n)$.
Відповідь:
$m^{3}+n^{3}>mn(m+n)$.