№ 1.35 Алгебра = № 6.35 Математика
Обчисліть значення суми:
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{9}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{45}}$
Розв’язок:
Позбудемося ірраціональності в знаменниках кожного доданка, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз:
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{(\sqrt{5}+\sqrt{1})(\sqrt{5}-\sqrt{1})}=$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{4}$
Аналогічно для інших доданків:
$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}$
$\frac{1}{\sqrt{13}+\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4}$
$\ldots$
$\frac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{45}}=\frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}$
Отже, сума дорівнює:
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{4}+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4}+\ldots+\frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}$
Винесемо за дужки $\frac{1}{4}$ та скоротимо протилежні доданки:
$\frac{1}{4}\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{1}+\sqrt{9}-\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{9}+\ldots+\sqrt{49}-\sqrt{45})=$
$=\frac{-\sqrt{1}+\sqrt{49}}{4}$
Підставимо значення $\sqrt{1}=1$ та $\sqrt{49}=7$:
$\frac{-1+7}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5$
Відповідь:
$1{,}5$