№ 3.26 Алгебра = № 8.26 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(x^{3}+y)(x+y^{3})\geq4x^{2}y^{2}$, якщо $x\geq0,y\geq0$;
2) $(m+6)(n+3)(p+2)\geq48\sqrt{mnp}$, якщо $m\geq0,n\geq0,p\geq0$;
3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0,b>0,c>0$ і $abc=16$.
Розв’язок:
1) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{x^{3}+y}{2}\geq\sqrt{x^{3}y};$
$\frac{x+y^{3}}{2}\geq\sqrt{xy^{3}}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$x^{3}+y\geq2\sqrt{x^{3}y};$
$x+y^{3}\geq2\sqrt{xy^{3}}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{x^{3}+y\geq2\sqrt{x^{3}y}}{x+y^{3}\geq2\sqrt{xy^{3}}}$
$\overline{\left( x^{3}+y \right)\left( x+y^{3} \right)\geq4\sqrt{x^{4}y^{4}}}$
Отже, $\left( x^{3}+y \right)\left( x+y^{3} \right)\geq4x^{2}y^{2}$, що й треба було довести.
2) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{m+6}{2}\geq\sqrt{6m};\quad\frac{n+3}{2}\geq\sqrt{3n};$
$\frac{p+2}{2}\geq\sqrt{2p}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$m+6\geq2\sqrt{6m};\quad n+3\geq2\sqrt{3n};$
$p+2\geq2\sqrt{2p}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{m+6\geq2\sqrt{6m}}{n+3\geq2\sqrt{3n}}$
$\overline{(m+6)(n+3)\geq4\sqrt{18mn}}$
$\times\binom{(m+6)(n+3)\geq4\sqrt{18mn}}{p+2\geq2\sqrt{2p}}$
$\overline{(m+6)(n+3)(p+2)\geq8\sqrt{36mnp}}$
Отже, $(m+6)(n+3)(p+2)\geq48\sqrt{mnp}$, що й треба було довести.
3) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{a+1}{2}\geq\sqrt{a};\quad\frac{b+1}{2}\geq\sqrt{b};$
$\frac{c+1}{2}\geq\sqrt{c}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$a+1\geq2\sqrt{a};\quad b+1\geq2\sqrt{b};$
$c+1\geq2\sqrt{c}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{a+1\geq2\sqrt{a}}{b+1\geq2\sqrt{b}}$
$\overline{(a+1)(b+1)\geq4\sqrt{ab}}$
$\times\binom{(a+1)(b+1)\geq4\sqrt{ab}}{c+1\geq2\sqrt{c}}$
$\overline{(a+1)(b+1)(c+1)\geq8\sqrt{abc}}$
Оскільки $abc=16$, то $8\sqrt{abc}=8\sqrt{16}=32$, тобто $(a+1)(b+1)(c+1)\geq32$.
Рівність можлива лише тоді, коли $a+1=2\sqrt{a}$, $b+1=2\sqrt{b}$ і $c+1=2\sqrt{c}$ (бо $a+1-2\sqrt{a}=\left( \sqrt{a}-1 \right)^{2}$), тобто при $a=b=c=1$. Але тоді $abc=1\neq16$. Отже, $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, що й треба було довести.