№ 3.26 Алгебра = № 8.26 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(x^{3}+y)(x+y^{3})\geq4x^{2}y^{2}$, якщо $x\geq0,y\geq0$;
2) $(m+6)(n+3)(p+2)\geq48\sqrt{mnp}$, якщо $m\geq0,n\geq0,p\geq0$;
3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0,b>0,c>0$ і $abc=16$.
Розв’язок:
1) $(x^{3}+y)(x+y^{3})\geq4x^{2}y^{2}$, якщо $x\geq0,y\geq0$.
Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\left( \frac{x^{3}+y}{2} \right)\cdot\left( \frac{x+y^{3}}{2} \right)\geq\sqrt{x^{3}y\cdot xy^{3}};$
$\left( \frac{x^{3}+y}{2} \right)\cdot\left( \frac{x+y^{3}}{2} \right)\geq\sqrt{x^{4}y^{4}};$
$(x^{3}+y)(x+y^{3})\geq4\sqrt{x^{4}y^{4}};$
$(x^{3}+y)(x+y^{3})\geq4x^{2}y^{2},$ що й треба було довести.
2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\left( \frac{m+6}{2} \right)\cdot\left( \frac{n+3}{2} \right)\cdot\left( \frac{p+2}{2} \right)\geq\sqrt{6m\cdot3n\cdot2p};$
$\left( \frac{m+6}{2} \right)\cdot\left( \frac{n+3}{2} \right)\cdot\left( \frac{p+2}{2} \right)\geq\sqrt{36mnp};$
$(m+6)(n+3)(p+2)\geq6\cdot8\sqrt{mnp};$
$(m+6)(n+3)(p+2)\geq48\sqrt{mnp},$ що й треба було довести.
3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\left( \frac{a+1}{2} \right)\cdot\left( \frac{b+1}{2} \right)\cdot\left( \frac{c+1}{2} \right)\geq\sqrt{a\cdot b\cdot c}.$
Враховуючи, що $abc=16$, маємо:
$(a+1)(b+1)(c+1)\geq8\sqrt{16};$
$(a+1)(b+1)(c+1)\geq32,$ що й треба було довести.