№ 3.27 Алгебра = № 8.27 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(mn+1)(m+n)\geq4mn$, якщо $m\geq0,n\geq0$;
2) $(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq16\sqrt{2}\cdot abc$, якщо $a\geq0$, $b\geq0$, $c\geq0$;
3) $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, якщо $x>0,y>0,z>0$ і $xyz=3$.
Розв’язок:
1) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\left( \frac{mn+1}{2} \right)\cdot\left( \frac{m+n}{2} \right)\geq\sqrt{mn}\cdot\sqrt{mn};$
$\left( \frac{mn+1}{2} \right)\cdot\left( \frac{m+n}{2} \right)\geq\sqrt{m^{2}n^{2}};$
$(mn+1)(m+n)\geq4\sqrt{m^{2}n^{2}};$
$(mn+1)(m+n)\geq4mn$, що й треба було довести.
2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\frac{a+2c}{2}\geq\sqrt{2ac};\quad\frac{b+2a}{2}\geq\sqrt{2ab};\quad\frac{c+2b}{2}\geq\sqrt{2bc};$
$a+2c\geq2\sqrt{2ac};\quad b+2a\geq2\sqrt{2ab};\quad c+2b\geq2\sqrt{2bc}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq8\sqrt{2ac}\cdot\sqrt{2ab}\cdot\sqrt{2bc};$
отже, $(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq16\sqrt{2}\cdot abc$, що й треба було довести.
3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коші:
$\frac{x+3}{2}>\sqrt{3x};\quad\frac{y+3}{2}>\sqrt{3y};\quad\frac{z+3}{2}>\sqrt{3z};$
$x+3>2\sqrt{3x};\quad y+3>2\sqrt{3y};\quad z+3>2\sqrt{3z}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$(x+3)(y+3)(z+3)>8\sqrt{3x\cdot3y\cdot3z};$
$(x+3)(y+3)(z+3)>8\sqrt{9\cdot3xyz};$
якщо $xyz=3$, маємо:
$(x+3)(y+3)(z+3)>8\cdot9;$
$(x+3)(y+3)(z+3)\geq72$, що й треба було довести.