№ 3.27 Алгебра = № 8.27 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(mn+1)(m+n)\geq4mn$, якщо $m\geq0,n\geq0$;
2) $(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq16\sqrt{2}\cdot abc$, якщо $a\geq0$, $b\geq0$, $c\geq0$;
3) $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, якщо $x>0,y>0,z>0$ і $xyz=3$.
Розв’язок:
1) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{mn+1}{2}\geq\sqrt{mn};\quad\frac{m+n}{2}\geq\sqrt{mn}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$mn+1\geq2\sqrt{mn};\quad m+n\geq2\sqrt{mn}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{mn+1\geq2\sqrt{mn}}{m+n\geq2\sqrt{mn}}$
$\overline{(mn+1)(m+n)\geq4\sqrt{mn}\cdot\sqrt{mn}}$
Отже, $(mn+1)(m+n)\geq4mn$, що й треба було довести.
2) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{a+2c}{2}\geq\sqrt{2ac};\quad\frac{b+2a}{2}\geq\sqrt{2ab};$
$\frac{c+2b}{2}\geq\sqrt{2bc}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$a+2c\geq2\sqrt{2ac};\quad b+2a\geq2\sqrt{2ab};$
$c+2b\geq2\sqrt{2bc}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{a+2c\geq2\sqrt{2ac}}{b+2a\geq2\sqrt{2ab}}$
$\overline{(a+2c)(b+2a)\geq4\sqrt{4a^{2}bc}}$
$\times\binom{(a+2c)(b+2a)\geq4\sqrt{4a^{2}bc}}{c+2b\geq2\sqrt{2bc}}$
$\overline{(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq8\sqrt{8a^{2}b^{2}c^{2}}}$
Оскільки $a\geq0$, $b\geq0$, $c\geq0$, то $8\sqrt{8a^{2}b^{2}c^{2}}=8\cdot2\sqrt{2}\cdot abc=16\sqrt{2}\cdot abc$.
Отже, $(a+2c)(b+2a)(c+2b)\geq16\sqrt{2}\cdot abc$, що й треба було довести.
3) За нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{x+3}{2}\geq\sqrt{3x};\quad\frac{y+3}{2}\geq\sqrt{3y};$
$\frac{z+3}{2}\geq\sqrt{3z}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$x+3\geq2\sqrt{3x};\quad y+3\geq2\sqrt{3y};$
$z+3\geq2\sqrt{3z}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{x+3\geq2\sqrt{3x}}{y+3\geq2\sqrt{3y}}$
$\overline{(x+3)(y+3)\geq4\sqrt{9xy}}$
$\times\binom{(x+3)(y+3)\geq4\sqrt{9xy}}{z+3\geq2\sqrt{3z}}$
$\overline{(x+3)(y+3)(z+3)\geq8\sqrt{27xyz}}$
Оскільки $xyz=3$, то $8\sqrt{27xyz}=8\sqrt{81}=72$, тобто $(x+3)(y+3)(z+3)\geq72$.
Рівність можлива лише тоді, коли $x+3=2\sqrt{3x}$, $y+3=2\sqrt{3y}$ і $z+3=2\sqrt{3z}$ (бо $x+3-2\sqrt{3x}=\left( \sqrt{x}-\sqrt{3} \right)^{2}$), тобто при $x=y=z=3$. Але тоді $xyz=27\neq3$. Отже, $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, що й треба було довести.