№ 3.28 Алгебра = № 8.28 Математика
Доведіть нерівність:
1) $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq4$, якщо $x>0,y>0$;
2) $(1+x+\frac{1}{x})(1+y+\frac{1}{y})\geq9$, якщо $x>0,y>0$.
Розв’язок:
1) Враховуючи що $x+\frac{1}{x}\geq2$; $y+\frac{1}{y}\geq2$, маємо:
$+\binom{x+\frac{1}{x}\geq2}{y+\frac{1}{y}\geq2}$
$\ \overline{x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\geq4}$
що й треба було довести.
2) Враховуючи, що $x+\frac{1}{x}\geq2$; $y+\frac{1}{y}\geq2$, маємо:
$\times\binom{1+x+\frac{1}{x}\geq3}{1+y+\frac{1}{y}\geq3}$
$\overline{\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)\geq9}$
що й треба було довести.