№ 4.17 Алгебра = № 9.17 Математика
Доведіть тотожність:
$\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}\ :\left( \frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right)=\frac{x}{x-1}$
Розв’язок:
$\frac{x^{2}+x}{(x-1)^{2}}\ :\left( \frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right)=$
$=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}\ :\left( \frac{x(x+1)-x(x-1)+x^{2}+1}{x^{2}-1} \right)=$
$=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}\ :\left( \frac{x^{2}+x-x^{2}+x+x^{2}+1}{x^{2}-1} \right)=$
$=\frac{x(x+1)}{(x-1)^{2}}\ :\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}=\frac{x(x+1)(x^{2}-1)}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}=$
$=\frac{x(x-1)(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}=\frac{x}{x-1}$
Отже, ліва частина тотожності дорівнює правій частині тотожності.