№ 7.22 Алгебра = № 12.22 Математика
Український борець греко-римського стилю Жан Беленюк має унікальну колекцію нагород з міжнародних турнірів. Розв’яжіть систему нерівностей
$\left\{ \begin{matrix} x(x-1)-(x-1)^{2}>3-x, \\ (2x-9)(2x+9)<(2x-1)^{2}. \end{matrix} \right.$
Знайдіть добуток $101x_{0}$, де $x_{0}$ — найбільший цілий розв’язок системи нерівностей, відтак дізнаєтеся, якого року Жан здобув свою найвищу нагороду — став олімпійським чемпіоном.
Розв’язок:
$\left\{ \begin{matrix} x(x-1)-(x-1)^{2}>3-x, \\ (2x-9)(2x+9)<(2x-1)^{2}; \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} x^{2}-x-(x^{2}-2x+1)>3-x, \\ 4x^{2}-81<4x^{2}-4x+1; \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} x-1>3-x, \\-81<-4x+1; \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} 2x>4, \\ 4x<82; \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} x>2, \\ x<20{,}5. \end{matrix} \right.$
Отже, розв’язком системи є проміжок $(2;20{,}5)$.
Найбільшим цілим числом у цьому проміжку є $x_{0}=20$.
Обчислимо добуток:
$101\cdot20=2020$
Відповідь:
$2020$.