№ 7.34 Алгебра = № 12.34 Математика
За яких значень $a$ обидва корені рівняння
$x^{2}-(a+1)x-(a+2a^{2})=0$
менші від числа $1$?
Розв’язок:
$x^{2}-(a+1)x-(a+2a^{2})=0$. Знайдемо дискримінант:
$D=(a+1)^{2}+4(a+2a^{2})=$
$=a^{2}+2a+1+4a+8a^{2}=$
$=9a^{2}+6a+1=(3a+1)^{2}$.
$x_{1}=\frac{a+1+\sqrt{D}}{2}=$
$=\frac{a+1+3a+1}{2}=2a+1$
$x_{2}=\frac{a+1-\sqrt{D}}{2}=$
$=\frac{a+1-3a-1}{2}=-a$
За умовою маємо:
$\left\{ \begin{matrix} 2a+1<1 \\-a<1 \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} 2a<0 \\ a>-1 \end{matrix} \right.$
$\left\{ \begin{matrix} a<0 \\ a>-1 \end{matrix} \right.$
Отже, $-1<a<0$.
При $-1<a<0$ рівняння має обидва корені менші від числа $1$.
Відповідь:
$(-1;0)$.