№ 3 ВПР 1 Алгебра = № 3 ВПТ 2 Математика
Які з нерівностей є правильними за будь-якого значення $a$:
1) $(2a+3)(2a-3)<4a^{2}+2a$;
2) $(3a-2)(3a+2)<49a^{2}+0{,}6$;
3) $(3a-1)^{2}>3a(3a-2)$;
4) $7>(3-a)(3+a)$?
Розв’язок:
1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
$(2a+3)(2a-3)-4a^{2}-2a=$
$=4a^{2}-9-4a^{2}-2a=$
$=-(9+2a)$
Вираз $-(9+2a)$ може бути додатним: наприклад, якщо $a=-5$, то $-(9-10)=1>0$. Отже, нерівність правильна не за будь-якого значення $a$.
2) $(3a-2)(3a+2)-\left( 49a^{2}+0{,}6 \right)=$
$=9a^{2}-4-49a^{2}-0{,}6=$
$=-40a^{2}-4{,}6=-(40a^{2}+4{,}6)$
Оскільки $40a^{2}+4{,}6>0$ для будь-якого $a$, то $-(40a^{2}+4{,}6)<0$.
Отже, нерівність $(3a-2)(3a+2)<49a^{2}+0{,}6$ є правильною.
3) $(3a-1)^{2}-3a(3a-2)=$
$=9a^{2}-6a+1-9a^{2}+6a=$
$=1>0$
Отже, $(3a-1)^{2}>3a(3a-2)$ — правильна нерівність.
4) $(3-a)(3+a)-7=$
$=9-a^{2}-7=-a^{2}+2$
Вираз $-a^{2}+2$ може бути додатним: наприклад, якщо $a=0$, то $-a^{2}+2=2>0$. Отже, нерівність правильна не за будь-якого значення $a$.
Відповідь:
Правильними є нерівності 2) та 3).