№ 4 ВПР 1 Алгебра = № 4 ВПТ 2 Математика
Доведіть нерівність:
1) $(m+1)^{2}\geq4m$;
2) $(4b-1)^{2}>-8b$;
3) $\frac{a^{2}+1}{2}\geq a$;
4) $\frac{m}{m^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$.
Розв’язок:
1) $(m+1)^{2}-4m=$
$=m^{2}+2m+1-4m=$
$=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}\geq0$, отже, $(m+1)^{2}\geq4m$.
2) $(4b-1)^{2}+8b=$
$=16b^{2}-8b+1+8b=$
$=16b^{2}+1$;
$16b^{2}\geq0$, $16b^{2}+1>0$, отже, $(4b-1)^{2}>-8b$.
3) $\frac{a^{2}+1}{2}-a=\frac{a^{2}-2a+1}{2}=$
$=\frac{(a-1)^{2}}{2}\geq0$, отже, $\frac{a^{2}+1}{2}\geq a$.
4) $\frac{m}{m^{2}+1}-\frac{1}{2}=\frac{2m-m^{2}-1}{2\left( m^{2}+1 \right)}=$
$=\frac{-(m^{2}-2m+1)}{2(m^{2}+1)}=-\frac{(m-1)^{2}}{2(m^{2}+1)}$;
$(m-1)^{2}\geq0$, $m^{2}+1>0$, отже, $-\frac{(m-1)^{2}}{2(m^{2}+1)}\leq0$, маємо: $\frac{m}{m^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$.