№ 48 ВПР 1 Алгебра = № 48 ВПТ 2 Математика
За яких значень $a$ рівняння:
1) $ax^{2}+2(a+1)x+(a+3)=0$ не має коренів;
2) $ax^{2}-(2a+1)x+(a+2)=0$ має два різних корені?
Розв’язок:
1) Якщо $a=0$, рівняння має вигляд $2x+3=0$, тобто $x=-1{,}5$ (один корінь).
Якщо $a\neq0$, рівняння є квадратним. Воно не має коренів, якщо дискримінант менше нуля:
$D=(2(a+1))^{2}-4a(a+3)=$
$=4\left( a^{2}+2a+1 \right)-4a^{2}-12a=$
$=4a^{2}+8a+4-4a^{2}-12a=$
$=4-4a$
$4-4a<0$
$-4a<-4$
$a>1$
2) Якщо $a=0$, рівняння має вигляд $-x+2=0$, тобто $x=2$ (один корінь).
Якщо $a\neq0$, рівняння є квадратним. Воно має два різних корені, якщо дискримінант більше нуля:
$D=(-(2a+1))^{2}-4a(a+2)=$
$=4a^{2}+4a+1-4a^{2}-8a=$
$=-4a+1$
$-4a+1>0$
$-4a>-1$
$a<\frac{1}{4}$
Оскільки $a\neq0$, то $a \in (-\infty;0) \cup (0;0{,}25)$.
Відповідь:
1) $a>1$.
2) $a \in (-\infty;0) \cup (0;0{,}25)$.