№ 7 ВПР 1 Алгебра = № 7 ВПТ 2 Математика
Порівняйте вирази:
1) $a^{3}-b^{3}$ і $ab(b-a)$, якщо $a\geq b$;
2) $m^{2}+n^{2}$ і $\frac{1}{2}$, якщо $m+n=1$.
Розв’язок:
1) Знайдемо різницю виразів:
$\left( a^{3}-b^{3} \right)-ab(b-a)=$
$=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})-ab(b-a)=$
$=(a-b)\left( a^{2}+ab+b^{2}+ab \right)=$
$=(a-b)(a+b)^{2}$
$a-b\geq0$, оскільки $a\geq b$; $(a+b)^{2}\geq0$. Отже, $(a-b)(a+b)^{2}\geq0$, тоді $a^{3}-b^{3}\geq ab(b-a)$.
2) Знайдемо різницю виразів:
$m^{2}+n^{2}-\frac{1}{2}=\frac{2m^{2}+2n^{2}-1}{2}=$
$=\frac{(m+n)^{2}+(m-n)^{2}-1}{2}=$
$=\frac{1+(m-n)^{2}-1}{2}=\frac{(m-n)^{2}}{2}$
Тут враховано, що
$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2m^{2}+2n^{2}$
і $(m+n)^{2}=1^{2}=1$.
$(m-n)^{2}\geq0$, тому $\frac{(m-n)^{2}}{2}\geq0$.
Отже, $m^{2}+n^{2}\geq\frac{1}{2}$.
Відповідь:
1) $a^{3}-b^{3}\geq ab(b-a)$;
2) $m^{2}+n^{2}\geq\frac{1}{2}$.