№ 10 ЗПЗ 1 Алгебра = № 10 ЗПЗ 2 Математика
Доведіть нерівність $(a+1)(b+4)(a+b)\geq16ab$, якщо $a\geq0,b\geq0$.
Розв’язок:
Оскільки $a\geq0$ і $b\geq0$, то за нерівністю Коші для кожного множника лівої частини маємо:
$\frac{a+1}{2}\geq\sqrt{a};\quad\frac{b+4}{2}\geq\sqrt{4b};$
$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}.$
Помножимо обидві частини кожної з цих нерівностей на $2$:
$a+1\geq2\sqrt{a};\quad b+4\geq2\sqrt{4b};$
$a+b\geq2\sqrt{ab}.$
Перемножимо ці нерівності почленно:
$\times\binom{a+1\geq2\sqrt{a}}{b+4\geq2\sqrt{4b}}$
$\overline{(a+1)(b+4)\geq4\sqrt{4ab}}$
$\times\binom{(a+1)(b+4)\geq4\sqrt{4ab}}{a+b\geq2\sqrt{ab}}$
$\overline{(a+1)(b+4)(a+b)\geq8\sqrt{4a^{2}b^{2}}}$
Оскільки $a\geq0$, $b\geq0$, то
$8\sqrt{4a^{2}b^{2}}=8\cdot2ab=16ab.$
Отже, $(a+1)(b+4)(a+b)\geq16ab$, що й треба було довести.