№ 10 ЗПЗ 1 Алгебра = № 10 ЗПЗ 2 Математика
Доведіть нерівність $(a+1)(b+4)(a+b)\geq16ab$, якщо $a\geq0,b\geq0$.
Розв’язок:
Застосуємо нерівність Коші до кожного множника у лівій частині нерівності:
$\frac{a+1}{2}\geq\sqrt{a}$
$\frac{b+4}{2}\geq\sqrt{4b}$
$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$
Звідси:
$a+1\geq2\sqrt{a}$
$b+4\geq2\sqrt{4b}$
$a+b\geq2\sqrt{ab}$
Перемножимо отримані нерівності:
$(a+1)(b+4)(a+b)\geq2\sqrt{a}\cdot2\sqrt{4b}\cdot2\sqrt{ab}$
$(a+1)(b+4)(a+b)\geq8\sqrt{4a^{2}b^{2}}$
$(a+1)(b+4)(a+b)\geq8\cdot2ab$
$(a+1)(b+4)(a+b)\geq16ab$
Оскільки $a\geq0,b\geq0$, нерівність доведено.