№ 10.21 Алгебра = № 20.21 Математика
1) Побудуйте графік функції $y=|x^{2}-4|$.
2) Використовуючи графік, знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $|x^{2}-4|=a$ має рівно три корені.
Розв’язок:
1) Побудуємо графік функції $y=x^{2}-4$, перенісши графік функції $y=x^{2}$ вздовж осі $y$ на 4 одиниці вниз. Далі ту частину графіка, яка лежить нижче від осі $x$, симетрично відобразимо відносно цієї осі.
2) Рівняння $|x^{2}-4|=a$ має стільки коренів, скільки точок перетину має графік функції
$y=|x^{2}-4|$ з горизонтальною прямою $y=a$.
З графіка видно, що:
- при $a<0$ коренів немає;
- при $a=0$ рівняння має два корені ($x=\pm2$);
- при $0<a<4$ рівняння має чотири корені;
- при $a=4$ графік перетинається з прямою $y=4$ у трьох точках ($x=-2\sqrt{2}$, $x=0$, $x=2\sqrt{2}$);
- при $a>4$ рівняння має два корені.
Отже, рівняння має рівно три корені, якщо $a=4$.
Відповідь:
$a=4$.