№ 10.24 Алгебра = № 20.24 Математика
$x_{1}$ та $x_{2}$ — корені рівняння $x^{2}-6x+3=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.
Розв’язок:
За теоремою Вієта маємо: $x_{1}+x_{2}=6$, $x_{1}\cdot x_{2}=3$.
$(x_{1}+x_{2})^{2}=$
$=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+2x_{2}\cdot x_{1}$,
звідки $x_{2}^{2}+x_{1}^{2}=$
$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{2}\cdot x_{1}$.
Отже, $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}$.
$\frac{(x_{2}^{2}+2x_{2}x_{1}+x_{1}^{2})-2x_{2}x_{1}}{x_{1}x_{2}}=$
$=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{2}x_{1}}{x_{1}x_{2}}=$
$=\frac{6^{2}-2\cdot3}{3}=\frac{36-6}{3}=10$.
Відповідь:
$10$.