№ 10.24 Алгебра = № 20.24 Математика
$x_{1}$ та $x_{2}$ — корені рівняння $x^{2}-6x+3=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.
Розв’язок:
За теоремою Вієта маємо: $x_{1}+x_{2}=6$, $x_{1}\cdot x_{2}=3$.
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}x_{2}.$
Тоді
$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=$
$=\frac{\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=$
$=\frac{6^{2}-2\cdot3}{3}=\frac{36-6}{3}=10.$
Відповідь:
$10$.