№ 11.12 Алгебра = № 21.12 Математика
Визначте напрямок гілок, знайдіть координати вершини та побудуйте схематично графік квадратичної функції:
1) $y=x^{2}-8x+7$;
2) $y=-x^{2}+2x-3$;
3) $y=0{,}2x^{2}-0{,}4x+2$;
4) $y=-2x^{2}+6x-3$.
Розв’язок:
1) $y=x^{2}-8x+7$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot1}=4;$
$y_{\text{в}}=4^{2}-8\cdot4+7=-9.$
Точка $(4;-9)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=4$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=4$:
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $-5$ | $-8$ | $-9$ | $-8$ | $-5$ | $0$ |
2) $y=-x^{2}+2x-3$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1;$
$y_{\text{в}}=-1^{2}+2\cdot1-3=-2.$
Точка $(1;-2)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-6$ | $-3$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ |
3) $y=0{,}2x^{2}-0{,}4x+2$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-0{,}4}{2\cdot0{,}2}=1;$
$y_{\text{в}}=0{,}2\cdot1^{2}-0{,}4\cdot1+2=1{,}8.$
Точка $(1;1{,}8)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $5$ | $2{,}6$ | $2$ | $1{,}8$ | $2$ | $2{,}6$ | $5$ |
4) $y=-2x^{2}+6x-3$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=1{,}5;$
$y_{\text{в}}=-2\cdot(1{,}5)^{2}+6\cdot1{,}5-3=$
$=-4{,}5+9-3=1{,}5.$
Точка $(1{,}5;1{,}5)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1{,}5$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1{,}5$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-3$ | $1$ | $1{,}5$ | $1$ | $-3$ |
Відповідь:
1) гілки вгору, вершина $(4;-9)$;
2) гілки вниз, вершина $(1;-2)$;
3) гілки вгору, вершина $(1;1{,}8)$;
4) гілки вниз, вершина $(1{,}5;1{,}5)$.