№ 11.18 Алгебра = № 21.18 Математика
Побудуйте графік функції $f(x)=x^{2}+2x-3$. За графіком знайдіть:
1) $f(1)$, $f(-2{,}5)$, $f(1{,}5)$;
2) значення $x$, за яких $f(x)=5$, $f(x)=-4$, $f(x)=-2$;
3) нулі функції;
4) розв’язки нерівностей: $f(x)\geq0$, $f(x)<0$;
5) найбільше та найменше значення функції;
6) область значень функції;
7) проміжки зростання і проміжки спадання функції.
Розв’язок:
Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot1}=-1;$
$y_{\text{в}}=(-1)^{2}+2\cdot(-1)-3=$
$=1-2-3=-4.$
Точка $(-1;-4)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=-1$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=-1$:
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ |
1) $f(1)=0$, $f(-2{,}5)=$
$=(-2{,}5)^{2}+2\cdot(-2{,}5)-3=$
$=6{,}25-5-3=-1{,}75$,
$f(1{,}5)=(1{,}5)^{2}+2\cdot1{,}5-3=$
$=2{,}25+3-3=2{,}25$.
2) Якщо $f(x)=5$, то $x=-4$ і $x=2$;
якщо $f(x)=-4$, то $x=-1$;
якщо $f(x)=-2$, то $x\approx-2{,}4$ і $x\approx0{,}4$.
3) Нулі функції: $x=-3$, $x=1$.
4) $f(x)\geq0$, якщо $x \in (-\infty;-3\rbrack \cup \lbrack 1;+\infty)$;
$f(x)<0$, якщо $x \in (-3;1)$.
5) Найменше значення функції $y=-4$; найбільшого значення не існує.
6) Область значень функції: $\lbrack-4;+\infty)$.
7) Функція зростає, якщо $x \in \lbrack-1;+\infty)$; спадає, якщо $x \in (-\infty;-1\rbrack$.
Відповідь:
1) $f(1)=0$, $f(-2{,}5)=-1{,}75$, $f(1{,}5)=2{,}25$;
2) $x=-4$ і $x=2$; $x=-1$; $x\approx-2{,}4$ і $x\approx0{,}4$;
3) $x=-3$, $x=1$;
4) $(-\infty;-3\rbrack \cup \lbrack 1;+\infty)$; $(-3;1)$;
5) найменше значення $-4$, найбільшого немає;
6) $\lbrack-4;+\infty)$;
7) зростає на $\lbrack-1;+\infty)$, спадає на $(-\infty;-1\rbrack$.