№ 11.19 Алгебра = № 21.19 Математика
Побудуйте графік функції $g(x)=-x^{2}+6x-5$. За графіком знайдіть:
1) $g(1)$, $g(2{,}5)$, $g(4{,}5)$;
2) значення $x$, за яких $g(x)=4$, $g(x)=-5$, $g(x)=2$;
3) нулі функції;
4) розв’язки нерівностей: $g(x)>0$, $g(x)\leq0$;
5) найбільше та найменше значення функції;
6) область значень функції;
7) проміжки зростання і проміжки спадання функції.
Розв’язок:
Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3;$
$y_{\text{в}}=-3^{2}+6\cdot3-5=4.$
Точка $(3;4)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=3$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=3$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $-5$ |
1) $g(1)=0$, $g(2{,}5)=3{,}75$, $g(4{,}5)=1{,}75$.
2) Якщо $g(x)=4$, то $x=3$;
якщо $g(x)=-5$, то $x=0$ або $x=6$;
якщо $g(x)=2$, то $x\approx1{,}6$ або $x\approx4{,}4$.
3) Нулі функції: $x=1$ та $x=5$.
4) $g(x)>0$, якщо $x \in (1;5)$;
$g(x)\leq0$, якщо $x \in (-\infty;1\rbrack \cup \lbrack 5;+\infty)$.
5) Найбільше значення $y=4$, найменшого значення немає.
6) Область значень: $(-\infty;4\rbrack$.
7) Зростає на проміжку $(-\infty;3\rbrack$, спадає на проміжку $\lbrack 3;+\infty)$.
Відповідь:
1) $g(1)=0$, $g(2{,}5)=3{,}75$, $g(4{,}5)=1{,}75$;
2) $x=3$; $x=0$ або $x=6$; $x\approx1{,}6$ або $x\approx4{,}4$;
3) $x=1$, $x=5$;
4) $(1;5)$; $(-\infty;1\rbrack \cup \lbrack 5;+\infty)$;
5) найбільше значення $4$, найменшого немає;
6) $(-\infty;4\rbrack$;
7) зростає на $(-\infty;3\rbrack$, спадає на $\lbrack 3;+\infty)$.