№ 11.21 Алгебра = № 21.21 Математика
Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
1) $y=-4x^{2}+8x$;
2) $y=2x^{2}-8x+6$;
3) $y=(x-1)(x-5)$;
4) $y=2(x+1)(x-3)$.
Розв’язок:
1) $y=-4x^{2}+8x$.
Координати вершини параболи:
$x_{B}=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{-8}=1$;
$y_{B}=-4+8=4$.
Точки перетину з віссю $Ox$: $-4x^{2}+8x=0$;
$4x(-x+2)=0$; $x_{1}=0$, $x_{2}=2$.
Точка перетину з віссю $Oy$: $y=0$.
а) Область значень: $(-\infty;4\rbrack$.
б) Нулі функції: $x_{1}=0$, $x_{2}=2$.
в) Функція зростає на проміжку $(-\infty;1\rbrack$; функція спадає на проміжку $\lbrack 1;+\infty)$.
г) $y>0$ на проміжку $(0;2)$; $y\leq0$ на проміжках $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 2;+\infty)$.
2) $y=2x^{2}-8x+6$.
Координати вершини параболи:
$x_{B}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{4}=2$;
$y_{B}=2\cdot4-8\cdot2+6=-2$.
Точки перетину з віссю $Ox$: $2x^{2}-8x+6=0$; $x^{2}-4x+3=0$; $x_{1}=3$, $x_{2}=1$.
Точка перетину з віссю $Oy$: $y=6$.
а) Область значень: $\lbrack-2;+\infty)$.
б) Нулі функції: $x_{1}=3$, $x_{2}=1$.
в) Функція зростає на проміжку $(2;+\infty)$; спадає на проміжку $(-\infty;2)$.
г) $y\geq0$, якщо $x \in (-\infty;1\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$; $y<0$, якщо $x \in (1;3)$.
3) $y=(x-1)(x-5)=x^{2}-6x+5$.
Координати вершини параболи:
$x_{B}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3$;
$y_{B}=3^{2}-6\cdot3+5=$
$=9-18+5=-4$.
Точки перетину з віссю $Ox$: $x^{2}-6x+5=0$; $x_{1}=1$, $x_{2}=5$.
Точка перетину з віссю $Oy$: $y=5$.
а) Область значень функції: $\lbrack-4;+\infty)$.
б) Нулі функції: $x_{1}=1$, $x_{2}=5$.
в) Функція зростає на проміжку $(3;+\infty)$; спадає на проміжку $(-\infty;3)$.
г) $y\geq0$, якщо $x \in (-\infty;1\rbrack \cup \lbrack 5;+\infty)$; $y<0$, якщо $x \in (1;5)$.
4) $y=2(x+1)(x-3)=$
$=2x^{2}-4x-6$.
Координати вершини параболи:
$x_{B}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{4}=1$;
$y_{B}=-8$.
Точки перетину з віссю $Ox$: $x_{1}=-1$, $x_{2}=3$.
Точка перетину з віссю $Oy$: $y=-6$.
а) Область значень: $\lbrack-8;+\infty)$.
б) Нулі функції: $x_{1}=-1$, $x_{2}=3$.
в) Функція зростає на проміжку $(1;+\infty)$; спадає на проміжку $(-\infty;1)$.
г) $y\geq0$ на проміжках $(-\infty;-1\rbrack \cup \lbrack 3;+\infty)$; $y<0$, якщо $x \in (-1;3)$.