№ 11.21 Алгебра = № 21.21 Математика
Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
1) $y=-4x^{2}+8x$;
2) $y=2x^{2}-8x+6$;
3) $y=(x-1)(x-5)$;
4) $y=2(x+1)(x-3)$.
Розв’язок:
1) $y=-4x^{2}+8x$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-4)}=1;$
$y_{\text{в}}=-4\cdot1^{2}+8\cdot1=4.$
Точка $(1;4)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:
| $x$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ |
Область значень функції: $(-\infty;4\rbrack$.
Нулі функції: $x=0$ і $x=2$.
$y>0$ на проміжку $(0;2)$; $y<0$ на проміжках $(-\infty;0)$ і $(2;+\infty)$.
Функція зростає на проміжку $(-\infty;1\rbrack$, спадає на проміжку $\lbrack 1;+\infty)$.
2) $y=2x^{2}-8x+6$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2;$
$y_{\text{в}}=2\cdot2^{2}-8\cdot2+6=-2.$
Точка $(2;-2)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=2$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=2$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $6$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $6$ |
Область значень функції: $\lbrack-2;+\infty)$.
Нулі функції: $x=1$ і $x=3$.
$y>0$ на проміжках $(-\infty;1)$ і $(3;+\infty)$; $y<0$ на проміжку $(1;3)$.
Функція зростає на проміжку $\lbrack 2;+\infty)$, спадає на проміжку $(-\infty;2\rbrack$.
3) $y=(x-1)(x-5)=$
$=x^{2}-6x+5$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3;$
$y_{\text{в}}=3^{2}-6\cdot3+5=-4.$
Точка $(3;-4)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=3$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=3$:
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ |
Область значень функції: $\lbrack-4;+\infty)$.
Нулі функції: $x=1$ і $x=5$.
$y>0$ на проміжках $(-\infty;1)$ і $(5;+\infty)$; $y<0$ на проміжку $(1;5)$.
Функція зростає на проміжку $\lbrack 3;+\infty)$, спадає на проміжку $(-\infty;3\rbrack$.
4) $y=2(x+1)(x-3)=$
$=2x^{2}-4x-6$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot2}=1;$
$y_{\text{в}}=2\cdot1^{2}-4\cdot1-6=-8.$
Точка $(1;-8)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $-6$ | $-8$ | $-6$ | $0$ |
Область значень функції: $\lbrack-8;+\infty)$.
Нулі функції: $x=-1$ і $x=3$.
$y>0$ на проміжках $(-\infty;-1)$ і $(3;+\infty)$; $y<0$ на проміжку $(-1;3)$.
Функція зростає на проміжку $\lbrack 1;+\infty)$, спадає на проміжку $(-\infty;1\rbrack$.
Відповідь:
1) $(-\infty;4\rbrack$; $x=0$, $x=2$; $y>0$ на $(0;2)$, $y<0$ на $(-\infty;0)$ і $(2;+\infty)$; зростає на $(-\infty;1\rbrack$, спадає на $\lbrack 1;+\infty)$;
2) $\lbrack-2;+\infty)$; $x=1$, $x=3$; $y>0$ на $(-\infty;1)$ і $(3;+\infty)$, $y<0$ на $(1;3)$; зростає на $\lbrack 2;+\infty)$, спадає на $(-\infty;2\rbrack$;
3) $\lbrack-4;+\infty)$; $x=1$, $x=5$; $y>0$ на $(-\infty;1)$ і $(5;+\infty)$, $y<0$ на $(1;5)$; зростає на $\lbrack 3;+\infty)$, спадає на $(-\infty;3\rbrack$;
4) $\lbrack-8;+\infty)$; $x=-1$, $x=3$; $y>0$ на $(-\infty;-1)$ і $(3;+\infty)$, $y<0$ на $(-1;3)$; зростає на $\lbrack 1;+\infty)$, спадає на $(-\infty;1\rbrack$.