№ 11.22 Алгебра = № 21.22 Математика
Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
1) $y=2x^{2}-6x$;
2) $y=-3x^{2}+12x-9$.
Розв’язок:
1) $y=2x^{2}-6x$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot2}=1{,}5;$
$y_{\text{в}}=2\cdot(1{,}5)^{2}-6\cdot1{,}5=$
$=4{,}5-9=-4{,}5.$
Точка $(1{,}5;-4{,}5)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=1{,}5$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1{,}5$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $-4$ | $-4{,}5$ | $-4$ | $0$ |
Область значень функції: $\lbrack-4{,}5;+\infty)$.
Нулі функції: $x=0$ і $x=3$.
$y>0$ на проміжках $(-\infty;0)$ і $(3;+\infty)$; $y<0$ на проміжку $(0;3)$.
Функція зростає на проміжку $\lbrack 1{,}5;+\infty)$, спадає на проміжку $(-\infty;1{,}5\rbrack$.
2) $y=-3x^{2}+12x-9$. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\cdot(-3)}=2;$
$y_{\text{в}}=-3\cdot2^{2}+12\cdot2-9=$
$=-12+24-9=3.$
Точка $(2;3)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=2$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=2$:
| $x$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $2{,}5$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $2{,}25$ | $3$ | $2{,}25$ | $0$ |
Область значень функції: $(-\infty;3\rbrack$.
Нулі функції: $x=1$ і $x=3$.
$y>0$ на проміжку $(1;3)$; $y<0$ на проміжках $(-\infty;1)$ і $(3;+\infty)$.
Функція зростає на проміжку $(-\infty;2\rbrack$, спадає на проміжку $\lbrack 2;+\infty)$.
Відповідь:
1) $\lbrack-4{,}5;+\infty)$; $x=0$, $x=3$; $y>0$ на $(-\infty;0)$ і $(3;+\infty)$, $y<0$ на $(0;3)$; зростає на $\lbrack 1{,}5;+\infty)$, спадає на $(-\infty;1{,}5\rbrack$;
2) $(-\infty;3\rbrack$; $x=1$, $x=3$; $y>0$ на $(1;3)$, $y<0$ на $(-\infty;1)$ і $(3;+\infty)$; зростає на $(-\infty;2\rbrack$, спадає на $\lbrack 2;+\infty)$.