№ 11.29 Алгебра = № 21.29 Математика
Доведіть, що всі точки параболи:
1) $y=x^{2}-2x+3$ лежать вище від осі $x$;
2) $y=-x^{2}-4x-5$ лежать нижче від осі $x$.
Розв’язок:
1) $y=x^{2}-2x+3$. Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.
Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:
$D=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot3=$
$=4-12=-8<0$.
Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, функція не має нулів і набуває лише додатних значень. Отже, всі точки параболи лежать вище осі $Ox$.
2) $y=-x^{2}-4x-5$. Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.
Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:
$D=(-4)^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-5)=$
$=16-20=-4<0$.
Оскільки $D<0$ і коефіцієнт при $x^{2}$ від’ємний, функція не має нулів і набуває лише від’ємних значень. Отже, всі точки параболи лежать нижче осі $Ox$.