№ 11.29 Алгебра = № 21.29 Математика
Доведіть, що всі точки параболи:
1) $y=x^{2}-2x+3$ лежать вище від осі $x$;
2) $y=-x^{2}-4x-5$ лежать нижче від осі $x$.
Розв’язок:
1) Графіком функції $y=x^{2}-2x+3$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1,$
$y_{\text{в}}=1^{2}-2\cdot1+3=2.$
Отже, найменше значення функції дорівнює $2$, тобто $y\geq2>0$ для всіх значень $x$. Тому всі точки параболи лежать вище від осі $x$.
2) Графіком функції $y=-x^{2}-4x-5$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=-2,$
$y_{\text{в}}=-(-2)^{2}-4\cdot(-2)-5=$
$=-4+8-5=-1.$
Отже, найбільше значення функції дорівнює $-1$, тобто $y\leq-1<0$ для всіх значень $x$. Тому всі точки параболи лежать нижче від осі $x$.