№ 11.34 Алгебра = № 21.34 Математика
М’яч підкинуто вертикально вгору з початковою швидкістю $15$ м/с. Залежність відстані $h$ (у метрах) від м’яча до землі від часу польоту $t$ (у секундах) задається формулою $h=15t-5t^{2}$. Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знайдіть:
1) якої найбільшої висоти сягне м’яч;
2) проміжок часу, протягом якого він рухався вгору, та проміжок часу, протягом якого він падав униз;
3) через скільки секунд після підкидання м’яч упав на землю.
Розв’язок:
Графіком функції $h=-5t^{2}+15t$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знайдемо координати її вершини:
$t_{\text{в}}=-\frac{15}{2\cdot(-5)}=1{,}5,$
$h_{\text{в}}=15\cdot1{,}5-5\cdot(1{,}5)^{2}=$
$=22{,}5-11{,}25=11{,}25.$
Знайдемо нулі функції:
$15t-5t^{2}=0;\quad 5t(3-t)=0;$
$t=0$ або $t=3$.
За змістом задачі $0\leq t\leq3$.
Складемо таблицю значень функції:
| $t$ | $0$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h$ | $0$ | $10$ | $11{,}25$ | $10$ | $0$ |
1) Найбільше значення функції — ордината вершини параболи: $h_{\text{в}}=11{,}25$. Отже, м’яч сягне висоти $11{,}25$ м.
2) Функція зростає на проміжку $\lbrack 0;1{,}5\rbrack$ і спадає на проміжку $\lbrack 1{,}5;3\rbrack$. Отже, м’яч рухався вгору перші $1{,}5$ с, а падав униз наступні $1{,}5$ с.
3) $h=0$, якщо $t=0$ або $t=3$.
$t=0$ — момент підкидання, отже, м’яч упав на землю через $3$ с після підкидання.
Відповідь:
1) $11{,}25$ м;
2) піднімався перші $1{,}5$ с, падав наступні $1{,}5$ с;
3) через $3$ с.