№ 11.38 Алгебра = № 21.38 Математика
У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом
$H(t)=H_{0}-\sqrt{2gH_{0}}kt+\frac{g}{2}k^{2}t^{2}$
де $t$ — час у секундах, що минув з моменту відкриття крана, $H_{0}=5$ м — початкова висота стовпа води, $k=\frac{1}{50}$ — відношення площ поперечного перерізу крана і бака, $g\approx10$ м/с$^{2}$ — прискорення вільного падіння. Через скільки секунд після відкриття крана:
1) висота стовпа води в баку буде $1{,}25$ м;
2) вода з бака повністю витече?
Розв’язок:
Підставимо відомі значення у формулу:
$H_{0}=5$, $g=10$, $k=\frac{1}{50}=0{,}02$.
$\sqrt{2gH_{0}}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=\sqrt{100}=10$.
$\frac{g}{2}k^{2}=\frac{10}{2}\cdot(0{,}02)^{2}=5\cdot0{,}0004=0{,}002$.
Отже, рівняння набуває вигляду:
$H(t)=5-10\cdot0{,}02t+0{,}002t^{2}=$
$=5-0{,}2t+0{,}002t^{2}$
1) $H(t)=1{,}25$:
$5-0{,}2t+0{,}002t^{2}=1{,}25$
$0{,}002t^{2}-0{,}2t+3{,}75=0$
Помножимо на $500$:
$t^{2}-100t+1875=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
$t_{1}=25$, $t_{2}=75$.
Знайдемо координати вершини параболи
$H(t)=0{,}002t^{2}-0{,}2t+5:$
$t_{\text{в}}=-\frac{-0{,}2}{2\cdot0{,}002}=50,$
$H(50)=0{,}002\cdot50^{2}-0{,}2\cdot50+5=$
$=5-10+5=0.$
Отже, через $50$ с вода витече повністю, і формула описує процес лише для $0\leq t\leq50$. Тому $t_{2}=75$ не задовольняє умову, і висота стовпа води буде $1{,}25$ м через $25$ с.
2) Вода витече повністю, коли $H(t)=0$:
$0{,}002t^{2}-0{,}2t+5=0$
Помножимо на $500$:
$t^{2}-100t+2500=0$
$(t-50)^{2}=0$
$t=50$
Відповідь:
1) $25$ с;
2) $50$ с.