№ 11.39 Алгебра = № 21.39 Математика
У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом $H(t)=at^{2}+bt+H_{0}$, де $H_{0}=8$ м — початковий рівень води, $a=\frac{1}{50}$ м/с$^{2}$, $b=-\frac{4}{5}$ м/с — сталі для цього бака. Через скільки секунд після відкриття крана:
1) висота стовпа води в баку буде $4{,}5$ м;
2) вода з бака повністю витече?
Розв’язок:
Закон зміни висоти води:
$H(t)=\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8$
де $t$ — час у секундах.
1) Знайдемо час $t$, коли $H(t)=4{,}5$:
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8=4{,}5$
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+3{,}5=0$
Помножимо на $50$:
$t^{2}-40t+175=0$
За теоремою Вієта:
$t_{1}=5,\quad t_{2}=35$
Оскільки $H(t)$ — це функція, що описує витікання, то $t=5$ с — це перший момент досягнення рівня $4{,}5$ м.
2) Вода витече повністю, коли $H(t)=0$:
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8=0$
Помножимо на $50$:
$t^{2}-40t+400=0$
$(t-20)^{2}=0$
$t=20\text{ с}$
Відповідь:
1) $5$ с;
2) $20$ с.