№ 11.39 Алгебра = № 21.39 Математика
У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в метрах, змінюється за законом $H(t)=at^{2}+bt+H_{0}$, де $H_{0}=8$ м — початковий рівень води, $a=\frac{1}{50}$ м/с$^{2}$, $b=-\frac{4}{5}$ м/с — сталі для цього бака. Через скільки секунд після відкриття крана:
1) висота стовпа води в баку буде $4{,}5$ м;
2) вода з бака повністю витече?
Розв’язок:
Закон зміни висоти води:
$H(t)=\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8$
де $t$ — час у секундах.
1) Знайдемо час $t$, коли $H(t)=4{,}5$:
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8=4{,}5$
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+3{,}5=0$
Помножимо на $50$:
$t^{2}-40t+175=0$
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
$t_{1}=5$, $t_{2}=35$.
Знайдемо координати вершини параболи
$H(t)=\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8:$
$t_{\text{в}}=\frac{4}{5}:\left( 2\cdot\frac{1}{50} \right)=20,$
$H(20)=\frac{1}{50}\cdot20^{2}-\frac{4}{5}\cdot20+8=$
$=8-16+8=0.$
Отже, через $20$ с вода витече повністю, і формула описує процес лише для $0\leq t\leq20$. Тому $t_{2}=35$ не задовольняє умову, і висота стовпа води буде $4{,}5$ м через $5$ с.
2) Вода витече повністю, коли $H(t)=0$:
$\frac{1}{50}t^{2}-\frac{4}{5}t+8=0$
Помножимо на $50$:
$t^{2}-40t+400=0$
$(t-20)^{2}=0$
$t=20\text{ с}$
Відповідь:
1) $5$ с;
2) $20$ с.