№ 12.25 Алгебра = № 26.25 Математика
2025 року в Канаді відбулися «Ігри нескорених» (Invictus Games), у яких брали участь спортсмени / спортсменки з України. Розв’яжіть нерівність $49x-5x^{2}-72\geq0$. Добуток найменшого і найбільшого натуральних розв’язків нерівності підкажуть вам, скільки медалей спортсмени / спортсменки України здобули в зимових видах цих змагань.
Розв’язок:
Перепишемо нерівність у стандартному вигляді:
$-5x^{2}+49x-72\geq0$
Помножимо обидві частини на $-1$, змінивши знак нерівності на протилежний:
$5x^{2}-49x+72\leq0$
Знайдемо корені квадратного тричлена $5x^{2}-49x+72=0$ за допомогою дискримінанта:
$D=(-49)^{2}-4\cdot5\cdot72=$
$=2401-1440=961=31^{2}$
$x_{1}=\frac{49-31}{10}=\frac{18}{10}=1{,}8$
$x_{2}=\frac{49+31}{10}=\frac{80}{10}=8$
Нерівність $5x^{2}-49x+72\leq0$ виконується для $x \in \lbrack 1{,}8;8\rbrack$.
Натуральними розв’язками нерівності є числа: $2,3,4,5,6,7,8$.
Найменший натуральний розв’язок — $2$, найбільший — $8$.
Їх добуток:
$2\cdot8=16$
Відповідь:
$16$ медалей.